11.4.2　平面与平面垂直 导学案——2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 11．4.2　平面与平面垂直 导学案 （原卷+答案） 课程标准 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明． ◆如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 2．从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面垂直的关系，归纳出以下判定定理. ◆如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 3．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题． 4．重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　二面角 1．二面角的定义 从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 2．图示与记法 图示 记法 二面角α-l-β或 二面角P-AB-Q或 二面角P-l-Q 3.二面角的平面角 定义 图示 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 4.平面与平面垂直 (1)两个平面垂直的定义 如果两个平面α与β______________________，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β. (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示． 知识点二　判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另一个平面的一条________，则这两个平面互相垂直 ________⇒α⊥β 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在____________垂直于它们交线的直线________于另一个平面 符号语言 ⇒α⊥β 图形语言 基 础 自 测 1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1-BD-C的大小为________． 2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 3．下列四个命题中，正确的序号有________． ①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ； ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ. 4．平面α⊥平面β，α＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　平面与平面垂直的判定 例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC. 方法归纳 证明面面垂直的方法 (1)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (2)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 跟踪训练1　如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． 求证：平面AEC⊥平面PDB. 题型2　面面垂直性质定理的应用 例2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 方法归纳 (1)面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直． (2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． 跟踪训练2　如图所示，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：平面VBC⊥平面VAC. 题型3　垂直关系的综合应用 【思考探究】　试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系． [提示]　垂直问题转化关系如下所示： 例3　(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证： ①EN∥平面PDC； ②BC⊥平面PEB； ③平面PBC⊥平面ADMN. (2)如图，在多边形PABCD中，AD∥BC，AB⊥AD, PA＝AB＝AD＝2BC，∠PAD＝60°，M是线段PD上的一点，且DM＝2MP，若将△PAD沿AD折起，得到几何体P-ABCD. ①证明：P