8.4三元一次方程组的解法课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册

8.3 三元一次方程组 的解法 七年级下 人教版 1. 了解三元一次方程组的概念. 2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想． 学习目标 重点 难点 新课引入 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有更多未知数，这时又该怎么解决呢？ 新知学习 小明手头有 12 张面额分别是 1 元、2 元和 5 元的纸币，共计 22 元，其中 1 元纸币的数量是 2 元纸币数量的 4 倍．求 1 元、2 元和 5 元的纸币各多少张. 分析：自然的想法是，设 1 元、2 元和 5 元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张，根据题意，可以得到下面三个方程： x + y + z = 12， x +2y + 5z = 22. x = 4y， 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 x + y + z = 12， x +2y + 5z = 22. x = 4y， 思考 这个方程组有什么特点？ ①含三个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1； ③有三个方程. 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 归纳 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 例1 判断下列方程组是否是三元一次方程组. √ × 总结：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不要求每一个一次方 程都含有三个未知数． 思考 1. 解二元一次方程组的方法有哪些？ (1) 代入消元法 (2) 加减消元法 2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元转化 二元一次方程组 一元一次方程 转化 消元 加减消元法和代入消元法能否用来解三元一次方程组？ x + y + z = 12 ① x + 2y + 5z = 22 ② x = 4y ③ 让我们看前面列出的三元一次方程组 仿照二元一次方程组的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含y、z的方程： 它们组成方程组 解得： x + y + z = 12 ① x + 2y + 5z = 22 ② x = 4y ③ 把 y=2 代入③，得 x=8. 因此，这个三元一次方程组的解为 答：1元、2元和5元纸币分别为 8 张、2 张、2 张． 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的. 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 例1 解三元一次方程组 3x + 4z = 7 ① 2x + 3y + z = 9 ② 5x - 9y+ 7z = 8 ③ 分析：方程①只含 x，z，因此，可以由②③消去 y，得到一个只含 x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组. 3x + 4z = 7 ① 2x + 3y + z = 9 ② 5x - 9y+ 7z = 8 ③ 解： ②×3+③ ， 得 11x +10 z = 35 ④ ①与④组成方程组 3x +4 z = 7 11x + 10z = 35 解这个方程组，得 把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9， 所以 因此，这个三元一次方程组的解为 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中求出最后一个未知数的值； (4)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起． 归纳 例2 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60，求 a，b，c 的值. 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. 解：根据题意，得三元一次方程组 ②-①，得 a+b=1. ④ ③-①，得 4a+b=10. ⑤ ① ② ③ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 所以 即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5. 把