6.3 实数-2023-2024学年七年级数学下学期同步备课讲义（人教版）

6.3 实数 1.了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类。 2.知道实数和数轴上的点是一一对应关系，能估算无理数的大小。 3.会求实数的相反数、绝对值，能比较实数的大小。 4.会进行简单的实数运算，并会用计算器求近似值。 知识点一 实数 1.无理数：无限不循环小数又叫做无理数。 例如 ，，，等都是无理数，也是无理数。 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，，， 是正无理数，，，，是负无理数。 【总结】 无理数的常见形式： (1)开方开不尽的数，如 ，，等. (2)圆周率以及含的数，如π，+2等。 (3)具有特定结构的数，如0.121 121 112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)等。 判断无理数时，要抓住“无限”和“不循环”这两个特征，缺一不可。 【注意】 无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能写成分数的形式。 (2)任何有理数都可以写成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数。 (3)无理数与有理数的和、差仍是无理数，如，等，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数。 (4)无理数与无理数的和、差、积、商不一定是无理数，如 ，等。 2.实数概念有理数和无理数统称实数。 3.实数的分类： ①按定义分： ②按大小分： 【注意】 (1)实数分类有不同的方法，但同一问题要按同一标准分类，做到不重不漏。 (2)对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果对原数进行分类 。 4.实数与数轴上点的关系及实数的大小比较 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。简记为“右”>“左”。 【总结】 (1)实数的大小比较： ①数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大； ②正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。 (2)数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数.要在数轴上画出表示无理数的点，则需要先得到无理数的近似值或大致取值范围。 5.实数的有关概念：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. ①数a的相反数是 -a，这里a表示任意一个实数。 ②一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即设 a 表示一个实数，则 【总结】 (1)在有理数范围内的一些概念(如相反数、绝对值、倒数)、性质在实数范围内仍然适用。 ①互为相反数a与b互为相反数⇔a+b=0 ②互为倒数a与b互为倒数⇔ab =1 ③绝对值任意实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0 ④互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|。 (2)一个无理数的相反数、绝对值、倒数仍为无理数。 题型一 无理数 【例题】下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1】下列各数中不是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】下列各数：，，，，，（相邻两个3之间5的个数逐次加1），其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 实数的概念 【例题】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1】实数π的相反数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】下列语句中正确的是（    ）． A．1的任何次方根都是1 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．无理数都是带根号的数 D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 题型三 实数的分类 【例题】在三个数，，中(   ) A．无理数的个数大于有理数的个数 B．正数的个数大于负数的个数 C．无理数的个数小于有理数的个数 D．正数的个数小于负数的个数 【即学即练1】在，，，，0，中，正有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【即学即练2】下列说法正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和零； ②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1； ③不带根号的数一定是有理数； ④两个无理数的和是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 实数的性质 【例题】已知实数a，b，c满足，且，则 ． 【即学即练1】的相反数是 ． 【即学即练2】若为任意实数，则的最小值是 ． 题型五 实数与数轴 【例题】实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简结果是（　　） A． B．b C． D． 【即学即练1】如图，半径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到