第05讲 平面向量的应用 学习任务单-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第04讲 平面向量的应用 知识解读 1、平面几何中的应用 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 2 向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积． 考点分析 考点1：平面图形中的向量问题 【铺垫】（1）正三角形的边长为，则______． （2）在中，，，，则______． 【例1】（1）如图，正六边形的边长为，则 ． （2）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ） A． B． C． D． （3）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_____；的最大值为_____． （4）在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是　　． 【铺垫】（1） 在边长为的正方形中，、分别为、的中点，则向量 ． （2）在正三角形中，是上的点．若，，则 ． 第⑴题 第⑵题 【例2】（1）如图，在边长为的菱形中，，为的中点，则______． （2）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______． （3）（重点班）在平行四边形中，，边、的长分别为、，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ． ⑴ ⑵ ⑶ 【例3】⑴外接圆的半径为，圆心为，且， ，则______． ⑵在中，是的中点，，点在上且满足，则 _____． 【例4】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点2平面向量在物理中的应用 【例1】 如图，已知河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为． (1)若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向 与水流方向的夹角和的大小； (2)若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游 泳的方向与水流方向的夹角和的大小． 【例2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共 提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个 拉力分别为，且，与的夹角为θ．给出以下 结论 ①越大越费力，越小越省力； ②的范围为； ③当时，； ④当时，． 其中正确结论的序号是　 　． 【例3】如图，重为的匀质球，半径为，放在墙 与均匀的木板之间，端锁定并能转动，端用水平绳索 拉住，板长，与墙夹角为，如果不计木板 的重量，则为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？ 课后巩固 一、单选题 1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 2．在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 3．若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 4．已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是A． B． C． D． 5．如图，在中，，P是BN上的一点，若， 则实数m的值为（    ）A. B． C． D． 6．在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 7．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（    ） A． B． C． D． 8．某人先向东走，位移记为，接着再向北走，位移记为，则表示（    ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 9.一物体在力F→的作用下，由点移动到点.已知，则F→对该物体所做的功为（    ）A． B．15 C．28 D． 10.加强体育锻炼是