1.5 数学归纳法7种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

1.5 数学归纳法7种常见考法归类 课程标准 学习目标 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 1.了解数学归纳法原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(逻辑推理、数学运算) 知识点01数学归纳法 (1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立； ②(归纳递推)假设当时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：① P(n0)为真；②若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 注：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． (3)数学归纳法的框图表示 2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤 【即学即练1】（2024·吉林·东北师大附中模拟预测（理））用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】1．（2024下·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）用数学归纳法证明“≥( N*）”时，由到 时，不等试左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】（2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练4】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 题型一：对数学归纳法的理解 （1） 数学归纳法的理解 （2024·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（    ） A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4 （2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ） A． B． C． D． （2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（    ） A． B． C． D． （二）增加或减少项和项的个数问题 （2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． （2024·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（    ） A． B． C． D． （20242·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ） A． B． C． D． （2024·全国·高二专题练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 【方法技巧与总结】 数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律． (3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设． 题型二：证明恒等式 （2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，． （2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n. （2024·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）． （2024·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）． （2024上·上海·高二上海中学校考期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. （2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 【方法技巧与总结】 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构． (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 题型三：证明不等式 （2024·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). （2024·全国