1.3.2 等比数列的前n项和5种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

3.2 等比数列的前n项和5种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决相应的问题． 3．体会等比数列与指数的函数关系． 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握与前n项和公式有关的计算．(数学运算) 3．能利用等比数列的通项公式及前n项和公式解决生活中的实际问题．(数学建模、数学运算) 知识点01等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：(1)等比数列前n项和公式分q ＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)q≠1时，公式Sn ＝与Sn ＝是等价的，利用an ＝a1qn －1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn ＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn ＝较方便． 【即学即练1】（2024·贵州黔东南·高二期末（理））已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．64 B．42 C．32 D．22 【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）设等比数列的前项和为，若公比，，则______． 【即学即练3】（2024·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（    ） A． B．32 C．64 D． 【即学即练4】（2024上·陕西渭南·高二统考期末）设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【即学即练5】（2024下·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知等比数列的前项和为，，则（    ） A．16 B．8 C．6 D．2 知识点02 等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 【即学即练6】（2024·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．21 D．27 【即学即练7】（2024·全国·高二单元测试）等比数列的前n项和为，若，，则（    ）． A．10 B．20 C．20或10 D．20或10 【即学即练8】（2024·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C．12 D．15 【即学即练9】（2024下·安徽·高二校联考阶段练习）设是等比数列的前n项和，若，则 . 【即学即练10】（2024上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知等比数列的公比，且，则 . 题型一：等比数列前n项和的基本运算 例1：（2024秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知等比数列的前项和是，且，则（    ） A．24 B．28 C．30 D．32 变式1：（2024秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（    ） A．1 B． C． D． 变式2：（2024·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________． 变式3：（2024·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ） A． B．2 C． D．3 变式4：（2024秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的公比是（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 【方法技巧与总结】 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 题型二：等比数列前n项和的性质的应用 （1）