1.3.1 等比数列的概念及其通项公式7种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

3.1 等比数列7种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 1.理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用通项公式进行基本量的运算．(数学运算) 3．会利用等比数列的性质进行基本量的运算．(数学运算) 4．体会等比数列与指数函数的关系．(直观想象) 5．能在具体的问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学建模、数学运算) 知识点01等比数列的概念 文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 若＝q(n≥2，q是常数且q≠0)，则数列{an}为等比数列 注：(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列． (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒． (3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略． 【即学即练1】（2024·全国·高二课时练习）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D．且 知识点02等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 注：(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量． (3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号． 【即学即练2】（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比为q． (1)若，，求通项公式； (2)若，，求q并写出通项公式； (3)若，，，求项数n． 【即学即练3】（2024·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））在各项均为负的等比数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)是否为该数列的项？若是，为第几项？ 【即学即练4】（2024·四川·德阳五中高二开学考试（文））已知在递减等比数列中，，，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 知识点03　等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么称G＝±为a，b的等比中项． 注：(1)若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，G＝±. (2)等比中项与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项． (3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 【即学即练5】（2024·全国·高二课时练习）已知等比数列中的前三项为、、，则实数的值为______． 【即学即练6】（2024·北京平谷·高二期末）已知等比数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练7】（2024·全国·高二专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________． 知识点04　等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； 注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． （2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. 注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. (4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同； （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. （6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （7）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．