2.8 数学探究活动(二)：探究函数性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§8 数学探究活动(二)：探究函数性质 　 第二章 导数及其应用 探究一　三次函数的图象与性质 (1)讨论f(x)的单调性； 例1 若a＝0，则f′(x)＝6x2≥0在R上恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 满足题设条件的a，b存在．理由如下： 当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增， 探究三次函数的图象与性质的方法 探究三次函数的图象与性质要本着降次的思路，充分利用导函数为二次函数的特性，从原函数与导函数的对应关系入手．另外要熟记三次函数的性质，如定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等，并能通过性质迅速画出三次函数的草图．　　 方法技巧 即时练1.若f(x)＝2x3－6x2＋3－a，对任意的x∈[－2，2]都有f(x)≤0，则a的取值范围为 A．(－∞，3) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0，3) √ 由f(x)＝2x3－6x2＋3－a得f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)max＝f(0)＝3－a，依题意可得3－a≤0，解得a≥3.故选C. 即时练2.若函数f(x)＝x3－3x在区间(2a，a＋3)上有最小值，则实数a的取值范围是 √ 探究二　函数的图象问题 给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； 函数f(x)的定义域为R. 例2 f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＝0，解得x＝0. f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞). 由(1)可知，函数的最小值为1. (2)画出函数f(x)的大致图象； 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x.根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示． 截取函数f(x)在区间[－1，2]上的图象如图所示． (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上根的个数． 当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1，2]上无实根． 作函数f(x)图象的步骤 1．求出函数的定义域； 2．求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； 3．用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； 4．确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； 5．画出f(x)的大致图象．　 方法技巧 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ ，f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f′(x)， x ln x，x>0 x ln (－x)，x<0 故①③正确，②错误．故选C. 例3 方程根或函数零点的个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数的工具性作用和数形结合思想．　　 方法技巧 即时练4.若直线y＝a与函数y＝－x3＋3x的图象有三个交点，则实数a的取值范围是________． (－2，2) 因为函数y＝－x3＋3x，则y′＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，所以当x<－1或x>1时，y′<0，函数y＝－x3＋3x单调递减；当－1<x<1时，y′>0，函数y＝－x3＋3x单调递增，所以当x＝－1时，函数y＝－x3＋3x取得极小值－2，当x＝1时，函数y＝－x3＋3x取得极大值2，因为直线y＝a与函数y＝－x3＋3x的图象有三个交点，结合函数图象可知，(图略)，实数a的取值范围是(－2，2). 探究四　证明不等式 已知函数f(x)＝ln x－ax(a>0). (1)当a＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程； 例4 有y－(－2)＝－(x－1)，即x＋y＋1＝0， 所以f(x)在x＝1处的切线方程是：x＋y＋1＝0. (2)若对任意的x>0，有f(x)≤b＋a(b∈R)，证明：b≥－2a. 证明不等式的方法 首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关，如果有关则转化为相应的问题证明；其次是针对要证明的命题构造函数，再通过构造的函数性质证明．函数的证明问题往往都比较复杂，需