7.4.2 超几何分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 7.4　二项分布与超几何分布 7．4．2　超几何分布 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(十六) 课程标准 学习目标 理解超几何分布及其推导过程，并能简单地运用． 1．数学抽象：理解超几何分布概念． 2．数学运算：借助超几何分布解题． 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k) ＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．均值： ． k),\s\do1(M)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)) ,C eq \o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)) ) eq \f(nM,N) [提醒] 在超几何分布中，随机变量X的最大值r未必是次品件数M，当抽取的产品的件数n不大于总体中次品的件数M(即n≤M)时，r＝n；当抽取的产品的件数n大于总体中次品的件数M(即n>M)时，r＝M.故X的最大值r是M与n中的较小者．同理，可推测m的取值规律． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). (1)超几何分布是不放回抽样．(　　) (2)超几何分布的总体是只有两类物品．(　　) (3)超几何分布与二项分布的均值相同．(　　) (4)超几何分布与二项分布没有任何联系．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A．3),\s\do1(5)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) B．1),\s\do1(5)) eq \f(C＋C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ＋C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) C．1－3),\s\do1(45)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) D．1),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ＋C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(45)) ,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) 解析：出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为3),\s\do1(45)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) ，故答案为1－3),\s\do1(45)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(50)) ) . 答案：C 3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝____________. 解析：P(X＝3)＝3),\s\do1(5)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)) ,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)) ) ＝ eq \f(5,21) . 答案： eq \f(5,21) 4．已知一不透明盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝_______________， 方差D(X)＝______． 解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝ eq \f(nM,N) ＝ eq \f(2×3,10) ＝ eq \f(3,5) ，D(X)＝ eq \f(nM,N) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N))) eq \f(N－n,N－1) ＝ eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10))) × eq \f(10－2,10－1) ＝ eq \f(28,75) . 答案： eq \f(3,