7.3.1 离散型随机变量的均值-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 高效导学第一步 梳理教材， 必备基础知识 典例探究， 提升关键能力 高效导学第二步 课下培优巩固练(十三) 课程标准 学习目标 1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 1．数学抽象：理解离散型随机变量的均值及意义． 2．数学运算：应用随机变量的均值解题． 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的 ． 3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝ ． 4．两点分布的均值：若X服从两点分布，则E(X)＝p. 平均水平 aE(X)＋b 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或数学期望． � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� x1p1＋x2p2＋…＋xnpn [提醒] 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． 【基础自测】 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的数学期望E(X)＝(　　) A． eq \f(3,2) B．2 C． eq \f(5,2) D．3 解析：由表中数据和数学期望的公式，可得E(X)＝1× eq \f(3,5) ＋2× eq \f(3,10) ＋3× eq \f(1,10) ＝ eq \f(15,10) ＝ eq \f(3,2) . 答案：A 解析：由0.2＋0.5＋m＝1，得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1. 答案：B 2．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2 B．2.1 2.3 D．随m的变化而变化 答案：0.4 3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为______． 解析：依题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，)) 解得y＝0.4. 答案：0 4．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,6) a 设Y＝6X＋1，则Y的数学期望E(Y)＝______． 解析：由已知得 eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,6) ＋a＝1，解得a＝ eq \f(1,3) ，则E(X)＝(－1)× eq \f(1,2) ＋0× eq \f(1,6) ＋1× eq \f(1,3) ＝－ eq \f(1,6) . 则E(Y)＝6E(X)＋1＝6× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6))) ＋1＝0. 解：(1) eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,5) ＋m＋ eq \f(1,20) ＝1，解得m＝ eq \f(1,6) . 突破点一　离散型随机变量的均值公式及性质　　 【例1】 已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y). (2)E(X)＝－2× eq \f(1,4) －1× eq \f(1,3) ＋0× eq \f(1,5) ＋1× eq \f(1,6) ＋2× eq \f(1,20) ＝－ eq \f(17,30) . (3)若Y＝2X－3， 则E(