第6章末总结（六）平面向量及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学 必修第二册（人教） 第六章 平面向量及其应用 章末总结 （六）平面向量及其 应用 阶段过关检测卷(六) 考点一　平面向量的线性运算 平面的线性运算主要包括向量的加法、减法和数乘运算，常结合平面向量基本定理用已知向量分解向量、向量关系式的化简与证明、三点共线的证明与应用等，难度中等或中低等． 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足 eq \o(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \o(EC,\s\up6(→)) ， eq \o(DF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FC,\s\up6(→)) ，记 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝b，试以a，b为平面向量的一组基底，利用向量的有关知识解决下列问题： (1)用a，b来表示向量 eq \o(DE,\s\up6(→)) 与 eq \o(BF,\s\up6(→)) ； (2)若|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝ eq \r(3) ，求| eq \o(DE,\s\up6(→)) |. 解：(1)∵在平行四边形ABCD中， eq \o(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \o(EC,\s\up6(→)) ， eq \o(DF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FC,\s\up6(→)) ， ∴ eq \o(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝a－ eq \f(1,2) b， eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝b－ eq \f(1,3) a. (2)由(1)可知： eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(DE,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up6(→)) ， ∴ eq \o(BF,\s\up6(→)) 2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) 2－ eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,9) eq \o(AB,\s\up6(→)) 2， ∵|AB|＝3，|AD|＝2，且|BF|＝ eq \r(3) ， ∴( eq \r(3) )2＝22－ eq \f(2,3) ×2×3×cos ∠BAD＋ eq \f(1,9) ×32， ∴cos ∠BAD＝ eq \f(1,2) ， ∴ eq \o(DE,\s\up6(→)) 2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→)))) eq \s\up12(2) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) 2－ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up6(→)) 2＝32－3×2×cos ∠BAD＋ eq \f(1,4) ×22＝9－6× eq \f(1,2) ＋1＝7. ∴| eq \o(DE,\s\up6(→)) |＝ eq \r(7) . 【练一练】 1.(2023·湖北宜昌高一检测)如图，在△ABC中，已知点D在BC上满足 eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(DC,\s\up6(→)) ，点M是AD的中点，过M作直线l交AB，AC于P，Q两点，记 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(AQ,\s\up6(→)