第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第04讲 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课程标准 学习目标 ①了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式。 ②理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积。 1.通过阅读课本培养学生空间想象能力和抽象思维能力； 2.柱、锥、台的侧面积和体积问题是高中数学的重要内容，现就柱、锥、台的侧面积和体积的常见问题分类解析以下。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解； 3.特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的运用； 知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积 （1）正方体、长方体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和 长、宽、高分别为的长方体的表面积： 棱长为的正方体的表面积： . （2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图: 棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图 （3）棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积： 知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积 ①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即. （2）棱锥的体积 ①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长. ②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解. （3）棱台的体积 ①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 ②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高) 题型01 棱柱的表面积 【典例1】（2024·全国·高一假期作业）某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①；②24；③；④．则该几何体的表面积可能是其中的（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【典例2】（2023下·全国·高一专题练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则a的取值范围是 . 【典例3】（2023上·上海·高二专题练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）. 【变式1】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）在长方体中，.该长方体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高一专题练习）如图，用若干棱长为的小正方体组成一个模型，该模型的表面积是 . 【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求: (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长； (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积. 题型02 棱柱的体积 【典例1】（2024·全国·高一假期作业）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为（    ）    A． B． C． D．以上都不对 【典例2】（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体中，E､F分别是棱､的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比 . 【典例3】（2023下·福建宁德·高一校联考期中）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 【变式1】（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 ． 【变式2】（2023上·上海·高二专题练习）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积；    【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）某自来水厂要制作一个无盖长方体水箱，所用材料的形状是矩形板，制作方案如图（单位：dm），求水箱的容积．    题型03 棱锥的表面积 【典例1】（2023下·甘肃酒泉·高二校考期末）如果一个正四棱锥的底面边长为6，高为3，那么它的侧面