2合一提分练(1) (专题微测)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 第二部分　综合·分层练 大题组合练 2合一提分练(1) 21.(12分)已知点P的坐标为(0,-2),点A,B分别为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,直线BP交椭圆E于另一点Q,△ABP是等腰直角三角形,且=。 (1)求椭圆E的方程; (2)设过点P的动直线l与椭圆E相交于M,N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,求直线l斜率的取值范围。 2合一提分练(1) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 解　(1)因为△ABP是等腰直角三角形,所以a=2,B(2,0)。设Q(x0,y0),则由=,得(x0,y0+2)=(2-x0,-y0),得代入椭圆E的方程得b2=1,所以椭圆E的方程为+y2=1。 (2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-2,由消去y并整理,得(1+4k2)x2-16kx+12=0　①,因为直线l与椭圆E有两个交点,所以方程①有两个不相等的实数根,所以Δ=(-16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>。设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为坐标原点O位于以MN为直径的圆外,所以>0,即x1x2+y1y2>0,即x1x2+(kx1-2)(kx2-2)=(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=(1+k2)·-2k·+4>0,解得k2<4。综上可得<k2<4,即<k<2或-2<k<-,所以当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时,直线l斜率的取值范围为∪。 2合一提分练(1) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 22.(12分)已知函数g(x)=ln x-x2。 (1)求g(x)的单调区间; (2)令f(x)=2cos x+g(x),判断函数f(x)的零点个数,并证明你的结论。 解　(1)由g(x)=ln x-x2(x>0)得g'(x)=-x==,令g'(x)>0,解得0<x<1,令g'(x)<0,解得x>1,所以g(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞)。 (2)证明:由题意得f(x)=2cos x+ln x-x2(x>0),f'(x)=-2sin x-x+。 ①当0<x<1时,设h(x)=-2sin x-x+,则h'(x)=-2cos x--1,由于0<x<1,所以h'(x)<0,即f'(x)在(0,1)上单调递减,又f'>0,f'(1)=-2sin 1<0,所以存在x0∈(0,1),使得函数f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减。当x∈(x0,1)时,f(x)>f(1)=2cos 1->2cos ->0,故f(x)在(x0,1)上无零点;当x∈(0,x0)时,x→0时,f(x)→-∞,又f(x0)>0,故f(x)在(0,x0)上必有一个零点。 2合一提分练(1) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 ②当1≤x≤π时,结合(1)可知,y=2cos x与y=g(x)都单调递减,所以f(x)在[1,π]上单调递减, 又f(1)>0,f(π)=-2+ln π-<-2+ln e2-<0,故f(x)在[1,π]上必有一个零点。 ③当x>π时,由(1)可知,g(x)=ln x-x2单调递减,故g(x)<g(π)=ln π-π2,又易知y=2cos x∈[-2,2], 所以f(x)=2cos x+ln x-x2<2cos x+ln π-π2<2+ln π-π2<0,则f(x)在(π,+∞)上无零点。 综上所述,函数f(x)在其定义域上共有两个零点。 2合一提分练(1) 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 本部分内容讲解结束 $$