专题5 第3讲 探究3 定点、定直线问题(专题微讲)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（课件PPT）

考前顶层设计·数学 考前顶层设计·数学 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题五 解析几何 第3讲　圆锥曲线考向探究 探究3　定点、定直线问题 【典例】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为。 (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上。 【规范解答】　(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由焦点坐标可知c=2, 则由e==可得a=2, 关键点1:由离心率求a值。 b==4, 所以双曲线C的方程为-=1。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 (2)证明:由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0), 设M(x1,y1),N(x2,y2), 显然直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,-<m<, 关键点2:避免对直线MN斜率是否存在进行讨论。 与-=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)>0, 则y1+y2=,y1y2=。 关键点3:联立方程组得到根与系数的关系。 直线MA1的方程为y=(x+2), 直线NA2的方程为y=(x-2), 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 联立直线MA1与直线NA2的方程可得: === 关键点4:求的值相对于直接联立方程求x的值可以减小运算量。 = 关键点5:构造-2(y1+y2)的巧妙之处是可以运用根与系数的关系求值。 = ==-, 由=-,可得x=-1,即xP=-1, 据此可得点P在定直线x=-1上。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 　　(1)本题考查了数学运算、数学直观、逻辑推理等核心素养,对学生的运算能力有较高的要求; (2)拓展:本题是 “极点极线”理论用中学知识求解的题目,点P所在的定直线x=-1实际上是点(-4,0)的极线,有兴趣的同学可以自学本书配套的 《高考妙手》中的相关内容。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 【变式训练1】　(2023·全国乙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A(-2,0)在C上。 (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 解　(1)由题意可得解得所以椭圆C的方程为+=1。 (2)证明:由题意可知:直线PQ的斜率存在,设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立方程消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1 728k>0,解得k<0,可得x1+x2=-,x1x2=, 因为A(-2,0),则直线AP:y=(x+2),令x=0,解得y=,即M,同理可得N, 则=+== ===3,所以线段MN的中点是定点(0,3)。 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第3讲　探究3　定点、定直线问题 【变式训练2】　(2023·常德模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点(1,2)。 (1)求抛物线C的方程及其准线方程; (2)设过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若=2,MN⊥y轴,垂足为N,求证:以MN为直径的圆恒过定点。 解　(1)由抛物线y2=2px(p>0)经过点(1,2),得4=2p,即p=2。所以抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1。 (2)证明:由题意知,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2。将x=my+2代入y2=4x,消去x得y2-4my-8=0,显然Δ=16m2+32>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-8。因为=2,所以M是线段AB的中点,设M(xM,yM),则xM===2m2+2,yM==2m,所以M(2m2+2,2m),又MN⊥y轴,所以垂足N的坐标为N(0,2m)。设以MN为直径的圆恒经过点D(x0,y0),则=(2m2+2-x0,2m-y0),=(-x0,2m-y0),由·=0,得-x0(2m2+2-x0)+(2m-y0)2=0, 即(4-2x0)m2-4y0m++-2x0=0　①,因为对任意的实数m①式要恒成立,所以解得 所以以MN为直径的圆恒过定点,该定点的坐标为(2,0)。