6.4.1 平面几何中的向量方法8种常考题型归类-2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略(人教A版2019必修第二册)

6.4.1 平面几何中的向量方法8种常考题型归类 2023-2024学年高一数学高频考点通关与解题策略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1用向量证明平行问题 题型2用向量证明线段垂直 题型3用向量解决线段的长度问题 题型4用向量解决夹角问题 题型5判断几何图形的形状 题型6向量在几何中的其他应用 题型7向量与几何最值 题型8奔驰定理与三角形的四心 1、向量在平面几何中的应用 （1） 平面两个向量的数量积：； （2） 向量平行的判定: ； （3）向量平行与垂直的判定:； （4）平面内两点间的距离公式： （其中，） （5）求模：； ； （6）对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). 2、用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 3、用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题．　　　　 4、奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 题型1用向量证明平行问题 1．（2023·全国·高一专题练习）已知在四边形中，，求与分别满足什么条件时，四边形满足下列情况. (1)四边形是等腰梯形； (2)四边形是平行四边形. 2．（2023·全国·高一随堂练习）求证：顺次连接任意凸四边形各边中点，构成一个平行四边形． 3．（2023上·高二课时练习）证明：三角形两边中点所连线段平行于第三边且其长度等于第三边长度的一半. 4．（2023·高一课前预习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 5．（2023·高一课时练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 6．（2023·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    题型2用向量证明线段垂直 7．（2023·全国·高一随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 8．（2023·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 9．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 10．（2023下·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 11．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 12．（2023下·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 13．（2023下·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 14．（2023下·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 15．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 16．（2023下·山西运城·高一统考期中）在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A．