6.4.3 课时2 正弦定理（6大题型）-2023-2024学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 课时2 正弦定理 1、掌握正弦定理及其变形； 2、了解正弦定理的证明方法； 3、掌握三角形正弦面积公式及其应用； 4、能应用正弦定理解决相关问题，并能综合运用正弦定理和余弦定理解决问题。 一、正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 二、三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 四、正弦定理解决的两类问题 1、类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 2、类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 五、利用正弦定理判断三角形的形状 法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ 法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 题型一 正弦定理解三角形 【例1】（2023·北京·高一校考期中）在中，若，，，则等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．150° 【变式1-1】（2023·浙江温州·高一统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（ ） A． B．2 C． D．4 【变式1-2】（2023·河北承德·高一统考期末）已知的内角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习）在中，若，，，则（ ） A．8 B．6 C．5 D．3 题型二 三角形解的个数判断 【例2】（2023·江苏盐城·高一校联考期中）已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·重庆·高一统考期末）在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（ ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2-2】（2023·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列条件的三角形，有唯一解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-3】（2023·陕西榆林·高一校考期中）（多选）下列条件判断三角形解的情况，正确的的是（ ）． A．，，，有两解； B．，，，有一解； C．，，，有一解； D．，，，有一解． 题型三 三角形的面积公式 【例3】（2023·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中）在中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·江苏淮安·高一统考期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（