立体几何解答题专练-2024届高三数学二轮专题复习

立体几何解答题专练（原卷版） （新高考地区适用） 真题呈现（2020年---2023年） 各地模拟题汇编 一、真题呈现 1．（2023·新课标全国Ⅰ·18）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 2．（2023·新课标全国Ⅱ·20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．      (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 3．（2023·全国甲卷（理）·18）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 4．（2023·全国甲卷（文）·18）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 5．（2023·全国乙卷（理）·19）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 6．（2023·全国乙卷（文）·19）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 7．（2022·全国甲卷（理）·18）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 8．（2022·全国甲卷（文）·19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 9．（2022·全国乙卷（理）·18）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 10．（2022·全国乙卷（文）·18）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 11．（2022·新高考全国Ⅰ·19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 12．（2022·新高考全国Ⅱ·20）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，，求二面角的正弦值． 13．（2021·全国乙卷（理）·18）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 14．（2021·全国乙卷（文）·18）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 15．（2021·全国甲卷（文）·19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 16．（2021·全国甲卷（理）·19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 17．（2021·全国新高考Ⅰ·20）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18．（2021·全国新高考Ⅱ·19）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 19．（2020·新高考全国Ⅱ（海南卷）·20）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）证明：平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 20．（2020·新高考全国Ⅰ（山东卷）·20）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 21．（2020·新课标Ⅲ（理）·19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 22．（2020·新课标Ⅲ（文）·19）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 23．（2020·新课标Ⅰ（文）·19）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 24．（2020·新课标Ⅰ（理）·18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为