1.4 解直角三角形 同步分层作业-2023-2024学年数学九年级下册（北师大版）

1.4 解直角三角形 1.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。 2.直角三角形变焦关系： 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2； (2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系： ：基础过关练 一、单选题 1．如图，将一副三角板按如图方式放置，其中，两条斜边相交于点O，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．在锐角中，于点，若，，则的度数是(　　) A． B． C． D． 3．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 5．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知是锐角，，则的值为 ． 8．如图，在菱形中，于点E，，，则的长为 ． 9．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，） 10．如图，的半径是1，为的弦，将弦绕点逆时针旋转，得到，连，则的最大值为 ． 11．如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为 ．    12．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． ：培优提升练 三、解答题 13．已知如图，是等边三角形，点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转后得到，连接． (1)如图1，当时，与相交于点，若，求的长； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，点在运动过程中，当最短时，直接写出的值． 14．（1）计算： （2）如图，在中，，，，分别求的长． 15．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 16．如图，在中，，，求． 17．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 1．A 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，利用平行线得到相似三角形是解决问题的关键．设，分别表示出、 ，然后利用相似三角形的性质得出结果． 【详解】解：设， 在直角中， ∵， ∴ ， ∴， 在直角中，， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形, 令，勾股定理求得，根据等面积法求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， ，， 则令， ，． 在中， ， 同理可得，． 过点作的垂线，垂足为， 则， ． 在中， ， ． 故选：B． 3．B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    4．D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 5．A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示    ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 6．C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG