6.2.3 平面向量的数乘运算（讲义，5考点+11题型）-2023-2024学年高一数学同步讲义与对点练（人教A版2019必修第二册）

6.2.3 平面向量的数乘运算 知识点一 向量的数乘运算 定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 长度 方向 的方向与的方向相同 的方向与的方向相反 规定 当＝0或时，； 微点拨： ①数乘向量仍是向量，实数与向量不能相加. ②中的实数叫作向量的系数. ③向量数乘运算的几何意义是把沿着的方向或的反方向长度扩大或缩小几倍． ④当＝0或时，，注意是，而不是0. 若，则＝0或. ⑤当时，向量是与向量同向的单位向量. 知识点二 向量数乘的运算律 设为实数，那么 (1)； (2)； (3). 特别地，. 知识点三 向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量，以及任意实数，恒有. 微点拨：实数与向量可以求积，但不能求和或求差 知识点四 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 微点拨： ①向量共线定理中规定，因为如果，当时，，可以是任意实数； 当时，，值不存在． ②的值是唯一存在的． ③当向量同向时，；当向量反向时，. 考点一 向量的线性运算 提分笔记 向量线性运算的基本方法 1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． 2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 题型一 向量的数乘运算 1．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（    ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题： ①     ② ③若，则     ④若，则 其中正确命题的个数是：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向. (1)； (2)； (3). 题型二 向量的混合运算 1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高一课时练习）若向量，，则 . 考点二 用已知向量表示相关向量 提分笔记 1．直接法 2．方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 3．中点向量公式 若M为AB的中点，O为平面内任一点，则＝． 题型一 不含参数 1．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中，多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（    ）．    A． B． C． D． 5．（2021·高一课时练习）在中，若，． (1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； (2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； (3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 题型二 含参数 1．（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 2．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 3．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 题型三 已知关系式的变形 1．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2022下·河北石家庄·高一统考阶段练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·福建福州·高一校联考期中）在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2019·广东·校联考一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（    ） A． B． C． D． 考点三