中考总复习 角度变化问题训练 同步练 2023—2024学年人教版九年级数学下册

角度变化问题训练 角度变化问题，通常给定某个角为 α，通过改变α的度数或取值范围来设置不同的问题，α常取的度数有30°， 45°， 60°， 90°， 120°， 135°， 150°等. 典型题 1、/新考向·综合与实践/ /2023·锦州中考/ 问题情境： 在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边 BC上.将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE (旋转角小于180°)，连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰△FEC，使∠FCE=α，连接 AF. 尝试探究： (1)如图1，当α=60°时，易知AF=BE；如图2，当α=45°时，AF 与BE 的数量关系为 ； (2)如图3，写出 AF 与BE 的数量关系(用含α 的三角函数表示)，并说明理由； 拓展应用： (3)如图4，当α=30°，且B，E，F 三点共线时，若请直接写出AF的长. {解题思路}此题主要运用“关于中点的方法技巧”和“手拉手模型”构造辅助线， (1)由“手拉手模型”可想到证明△BCE∽△ACF，从而进而得出结果； (2)类比(1)的思路，需证△BCE∽△ACF，结合已知∠ACB=α，AB=AC，联想到过点A作AH⊥BC 于点F (如图 1)，在Rt△AHC 中， 同理可得 进而说得△BCE∽△ACF，从而 (3)根据α=30°可知，∠EFC=120°，是特殊角，想到过点C作CH⊥BF交BF的延长线于点H(如图 2).根据△BDE是等腰三角形和已知BD的长，想到过点D作DM⊥BF于点M(如图 2)，设BM=x，则 BE=2x.|DM∥CH，得从而BH=5BM=5x，∴EH=BH-BE=3x，进而表示出FE=FC=2x，FH=在Rt△BHC中，根据勾股定理列出方程解得 x=2，进而可AF 的长. 拓展题 2、/新考向·综合与实践/ /新考问·开放性试题/【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题:在□ABCD 中，∠BAD=α，DE 平分∠ADC，交对角线 AC 于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转得到线段EP， (1)如图1，当α=120°时，连接AP，求证：AP=AC， ①如图 2，小妍同学通过EB绕点E顺时针旋转60°得到等边三角形，联想到“手拉手”模型，给出了如下解题思路：连接PB，PC，构造△APE≌△CPB； ②如图3，小欣同学由DE平分∠ADC想到菱形，给出了另一种解题思路：延长PE交CD于点H ，连接AH，构造△APE≌△ACH. 请你根据其中一名同学的解题思路，写出证明过程； 【深入探究】 (2)若α=120°，连接AP，求 的值； 【类比分析】 (3)小晨同学在原题的基础上进一步探究，提出如下问题：如图 4，若将改成“α=90°”过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由. 3、新考向 综合与实践/【问题提出】 如图 1，点E在菱形ABCD的边BC上，是等腰三角形， AF交CD于点G，探究 与α之间的数量关系. 【问题探究】 (1)先将问题特殊化：如图2，当时，直接写出的度数； (2)再探究一般情形：如图1，求与α之间的数量关系； 【问题拓展】 (3)将图 1 特殊化，如图 3，当时，若求 的值. 4、/ 新考向·综合与实践/ /新考向·开放性试题/ 在等腰 中，是直角三角形， 连接 BD，BE，F是BD的中点，连接CF. 问题探究： (1)若 ①如图 1，当顶点D在边AC 上时，与之间的数量关系是 ，线段B E与线段CF之间的数量关系是 ； ②如图 2，当顶点D在边AB上时，①中线段BE与线段CF之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，请选择其中一种思路解答. 思路一：取等腰△ABC底边的中点M，并取BE的中点 N，再利用等腰直角三角形的性质及三角形全等或相似等有关知识来解决问题； 思路二:取DE的中点G，连接 AG，CG，并把绕点C 逆时针旋转再利用旋转的性质、三角形全等或相似等有关知识来解决问题. 问题拓展： (2)若，如图 3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF之间的数量关系，并说明理由. 5.在中，，D为线段AB上一动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转α得到DE，连接CE，BE， (1)如图 1，若求证： (2)如图 2，若 ①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由； ②若H是BC 上一点，在点D移动的过程中，是否存在最小值?若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$