专题2.1 两直线的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.1 两直线的位置关系（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】余角：如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。 【知识点二】补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。 【知识点三】余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 【知识点四】余角和补角的性质用数学语言表示： （1）则(同角的余角（或补角）相等)。 （2）且则(等角的余角（或补角）相等)。 【知识点五】对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 【知识点六】对顶角的性质：对顶角相等。 对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 【知识点七】垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 【知识点八】垂线的性质： 性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。 【知识点九】点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 【知识点十】同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。 【考点目录】 【考点1】余角、补角概念的理解； 【考点2】对顶角、邻补角、垂直的理解； 【考点3】利用余角与补角的性质求值； 【考点4】利用对顶角和邻补角性质求值 【考点5】利用平行线间距离相等求距离； 【考点6】作图并求值 【考点1】余角、补角概念的理解 【例1】（2020上·七年级单元测试）如图所示，和都是直角． （1）填空：图中与互余的角有____________； （2）与互补吗？为什么？ 【答案】（1）∠AOB和∠COD；（2）互补，理由见分析 【分析】（1）根据∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，解答即可； （2）求出∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOD，代入求出即可． 解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角， 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°， 所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余， 所以图中与∠BOC互余的角有∠AOB和∠COD； （2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下： 因为∠AOC和∠BOD都是直角， 所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°， 又因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD， 所以∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=180°， 所以∠AOD与∠BOC互补． 【点拨】本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够根据图形进行计算，题目比较好，难度适中． 【变式1】（2023上·全国·七年级课堂例题）一个锐角的余角比它的补角（    ） A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小 【答案】B 【分析】设这个角是，则它的余角是，它的补角时，得出式子，求出即可． 解：设这个锐角为， 根据题意可得：， 则它的余角比它的补角小， 【点拨】此题考查了余角和补角的计算 故选：． ，解题的关键是熟练掌握余角和补角的定义． 【变式2】（2024上·江西赣州·七年级统考期末）若的度数为，且与互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查余角的概率．理解互余的概念是解题的关键。 根据余角定义：若两个角的和为，则这两个角互余，直接解答即可． 解：∵与互余，， ∴． 故答案为：． 【考点2】对顶角、邻补角、垂直的理解 【例2】（2023下·安徽亳州·七年级统考）如图，直线、和相交于点；     （1）分别写出，的对顶角； （2）如果，，求和的度数． 【答案】（1）的对顶角是，的对顶角是；（2）, 【分析】（1）根据对顶角的概念即可解答； （2）直接利用根据邻补角互补、对顶角相等可得答案． （1）解：的对顶角是，的对顶角是． （2）解：∵，， ∴，， ∴, ∴, ∴． 【点拨】本题主要考查了垂直定义、邻补角、对顶角等知识点，掌握邻补角和对顶角的定义和性质是解答本题的关键． 【变式1】（2022下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断． 解：∵为对顶角， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵OF平分， ∴，故选项B正确； ∵， ∴与互为补角，故选项C正确； ∵，， ∴的余角等于，故选项D错误； 故选：D． 【点拨】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，解题的关键熟练掌握角平分线的定义和垂线的性质． 【变式2】（2023下·上海虹口·七年级上外附中校考期末）若的对顶角是，的