第十七章 勾股定理 本章小结 2023-2024学年人教版数学八年级下册

本章小结 第十七章 勾股定理 ▶考点1　勾股定理及其应用 典例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c 的长为( ) A．26 B．18 C．20 D．21 C 考点梳理 典例2　一架长5 m的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底BO＝3 m．如果梯子的顶端沿墙下滑1 m，梯子的底端在水平方向也滑动1 m吗？用所学知识，论证你的结论． 解：梯子的底端也滑动1 m．证明如下： 在Rt△AOB中，BO＝3，AB＝5， ∴AO＝＝4，OC＝4－1＝3． 在Rt△DCO中，OC＝3，DC＝5， ∴OD＝＝4． ∴BD＝4－3＝1，即梯子底端也滑动1 m． 典例3　已知等腰三角形底边上的高为4，周长为16，求这个三角形的面积． 解：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高， 答图 设BD＝x． ∵△ABC的周长为16， ∴AB＋BD＝×16＝8．∴AB＝8－x． 在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2， 即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3． ∴BC＝2BD＝2×3＝6． ∴S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12． ∴BD＝BC，∠ADB＝90°． ▶考点2　勾股定理的逆定理的应用 典例4　一个三角形的三边之比为1∶∶2，则这个三角形 　 　直角三角形．(填“是”或“不是”)  　是　 典例5　下列各组数为勾股数的是( ) A．3，4，5 B．1，1， C．0.6，0.8，1 D．5，12，23 A 典例6　由四条线段AB，BC，CD，DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3 m，AD＝4 m，BC＝12 m，AB＝13 m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？ 解：如图，连接AC． 答图 答：在该空地上种植草皮共需4 800元． ∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴AC＝＝5(m)． ∵AB＝13，BC＝12， ∴52＋122＝132，即AC2＋BC2＝AB2． ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC－SRt△ACD＝×5×12－×3×4＝24(m2)． ∴200×24＝4 800(元)． ▶考点3　勾股定理与逆定理的综合应用 典例7　(教材P34习题T6·改编)如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝BC．求证：AF⊥EF． 证明：设AB＝4a，则AB＝AD＝CD＝BC＝4a． ∵F为DC的中点，EC＝BC， ∴DF＝CF＝2a，BE＝3a，CE＝a． 在Rt△ABE中，AE＝＝5a， 在Rt△ADF中，AF＝＝2a， 在Rt△EFC中，EF＝a． ∵AF2＋EF2＝25a2，AE2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2． ∴△AEF是直角三角形，∠AFE＝90°．∴AF⊥EF． 1．已知△ABC中，AC＝3，AB＝5，∠C＝90°，则△ABC的周长等于( ) A．11 B．8＋ C．12 D．13 C 课堂检测 2．如图，数轴上的点A表示的数是－1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为　 　．  2－1 3．已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”，则它的逆命题为“________________________ 　”，该逆命题是　 　命题(填“真”或“假”)．  　假　 等，那么这两个三角形全等　 　如果两个三角形的面积相 答：旗杆在离