第六章 实数 知识点讲义2023-2024学年人教版数学七年级下册

第六章 实数 6.1 平方根 知识点1 算术平方根 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数. 拓展： ①. 一个正数的算术平方根是正数，规定0的算术平方根为0.因此，对于任何一个非负数，它的算术平方根一定为非负数。 ②.求一个非负数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的过程，只不过只有正数和0才有算术平方根，负数没有算数平方根。 例1： （2014 厦门中考）4的算术平方根是 （ ） A 16 B 2 C -2 D 知识点2 平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次根式。这就是说，如果，那么叫做的平方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 （2）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根只有一个，就是它本身；负数没有平方根。 拓展： 如 区别 联系 平方根 算术平方根 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种，平方根与算术平方根都是相对于非负数而言的，只有0的平方根和算数 正数的平方根为，有两个 正数的算术平方根为，只有一个 正数的平方根有两个，两者互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 例2、下列各数有没有平方根？如果有，求出它的平方根与算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）25 （2）0.0081 （3） （4） . 小试牛刀： 已知。 【基础达标】 1、25的平方根是 2、 = 3、 的算术平方根是 4、 的算术平方根的相反数是 ，平方根的倒数是 5、 求下列各数的算术平方根 （1） ； （2） 6，解下列方程 （1）25； （2） 6.2 立方根 知识点1 立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数（不能省略） 2. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与开平方都是开方运算. 知识拓展 （1） 开方：求一个数方根的运算，叫做开方。 （2） N次方根；如果一个数的n次方等于，那么这个数就叫做的次方根； （3） （n为偶数）次算术根，正数的正的n次方根叫做的n次算术平方根，0的n次方根叫做0的n次算术根，n次算术根具有“双重非负数”，即 （4） 非负数才有平方根，而任何数都有立方根，这是平方根和立方根的最大区别，不要混淆 例1求下列各数的立方根 （1）64； (2）-125； (3)-； （4）2 知识点2 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方跟是负数，0的立方根是0. 一般地， 拓展 正数 0 负数 平方根 两个平方根 0 没有平方根 立方根 一个正立方根 0 一个负立方根 例2 求下列各式的值 （1） （2） . 例 3 （平方根与立方根的综合运用） 已知且，求的值 例4 （立方根性质的应用） 若，求x的值. 【基础达标】 1,64的立方根是 2,一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为 3， 的平方是225，且，则的立方根是 4，求下列各式的值 （1） ； （2） （3） （4） 5,用一块纸板做一个有底无盖的正方体粉笔盒，已知粉笔盒的体积为216立方厘米. （1） 求这个粉笔盒的棱长； （2） 这块纸板的面积至少是多少平方厘米？ 6.3 实数 知识点1 无理数 无限不循环小数叫做无理数.判断一个数是否是无理数，先看它是不是无限小数，再看他是不是不循环小数，只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数. 知识拓展：对无理数定义的理解应注意以下三点：（1）无理数是指无限的、不循环的小数；（2）并不是所有带根号的数都是无理数，如，经开方运算后，结果是有理数；（3）因为π是一个无线不循环小数，所以圆周率π是无理数. 例1（无理数的识别） 下列各数中，哪些是有理数？哪