专题6.3 平面向量的数量积运算（5类必考点）-2023-2024学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 平面向量的数量积运算 【考点1：求向量的数量积】 1 【考点2：利用向量的数量积求模】 2 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 3 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 3 【考点5：投影向量】 5 【考点1：求向量的数量积】 【知识点：求向量的数量积】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·＝0. (2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的运算律 (1) ·＝· (交换律)． (2)λ·＝λ(·)＝·(λb)(结合律)． (3)( ＋)·＝·c＋· (分配律)． [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． (2)两向量，的数量积·与代数中，的乘积写法不同，不能省略掉其中的“·”．　　 1．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）在边长为6的菱形ABCD中，，，则=（ ） A．15 B． C．30 D．20 3．（2024·河南·模拟预测）中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）如图，半径为为圆上两点，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 5．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）在矩形中，，点分别是的中点，则 ． 【考点2：利用向量的数量积求模】 【知识点：利用向量的数量积求模】 几何表示 模 ||＝ 1．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知单位向量与单位向量的夹角为，则（ ） A．2 B． C． D． 2．（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知平面向量，均为单位向量，且它们的夹角为，则（    ） A．7 B．3 C． D．1 3．（2024·山西大同·高三统考期末）设向量，满足，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024上·河北张家口·高三统考期末）已知向量，的夹角为，，，则 ． 5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 . 6．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知向量，，满足：，且，则的取值范围是 ． 【考点3：利用向量的数量积求夹角】 【知识点：利用向量的数量积求夹角】 几何表示 夹角 cos θ＝ 1．（2024·全国·模拟预测）若向量，，且，则 ． 2．（2024·全国·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·青海西宁·高三统考期中）已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点4：向量垂直与向量的数量积关系】 【知识点：向量垂直与向量的数量积关系】 1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若向量满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知向量的夹角为，，则 ， ． 4．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 5．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）设，为两个单位向量，且，若与垂直，则 . 6．（2023下·陕西西安·高一期中）已知向量满足，且的夹角为. (1)求的模； (2)若与互相垂直，求λ的值. 7．（2024·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习），的夹角为，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求. 【考点5：投影向量】 【知识点：投影向量】 在上的投影向量为：. 1．（福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（    ） A．与的夹角为 B．为定值 C．的最小