预习12 复数的三角表示（五大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习12复数的三角表示 一、复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式.其中,是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角. 规定,满足条件的辐角叫做辐角的主值,通常记为,即叫做复数的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式. 二、复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1.运算法则. 设的三角形式分别是). 复数的乘法 复数的乘方 复数的除法 2.几何意义. 复数对应的向量分别为. （1）复数乘法的几何意义. 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义. （2）复数除法的几何意义. 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按逆时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 考点01复数的代数形式化为三角形式 【方法点拨】复数的代数形式化为三角形式的步骤：（1）先求复数的模；（2）决定辐角所在的象限；（3）根据象限求出辐角；（4）写出复数的三角形式. 【例1】复数的三角形式是（     ） A． B． C． D． 【例2】把下列复数化为三角形式． (1)5 (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果，那么复数的三角形式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)i． 考点02复数的三角形式化为代数形式 【方法点拨】（1）类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连；（2）由三角形式表示成代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可. 【例3】将复数z＝化为代数形式为 ． 【例4】设复数，那么的共轭复数的代数形式是 ． 【变式2-1】复数10表示成代数形式为 ． 【变式2-2】将复数化为代数形式为 【变式2-3】把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)． 考点03求辐角主值 【方法点拨】注意：辐角主值的范围： 【例5】（i是虚数单位），则z的辐角主值（    ） A． B． C． D． 【例6】（1988·全国·高考真题）求复数的模和辐角的主值． 【答案】2；. 【分析】把复数化成三角形式，利用复数模及辐角主值的定义直接求解作答. 【详解】依题意，， 所以复数的模为2，辐角的主值为. 【变式3-1】已知复数，则是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】求复数的辐角的主值为 . 【变式3-3】写出下列复数的辐角的主值 (1)-4 (2) (3) (4) 考点04复数三角形式乘除运算 【方法点拨】复数三角形式的运算法则：（1）乘法法则:模相乘,辐角相加；（2）除法法则:模相除,辐角相减；（3）复数的次幂:模的次幂,辐角的倍. 【例7】棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例8】计算： (1)； (2). 【变式4-1】任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（    ） A．1 B． C． D．i 【变式4-2】根据乘任意复数z的几何意义计算： (1)； (2)． 【变式4-3】计算下列各式，并把结果化成代数形式： (1)， (2)． 考点05复数三角形式乘除运算的几何意义 【方法点拨】复数三角形式乘除运算的几何意义:设复数对应的向量为. （1）把向量绕点0按逆时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是积；（2）把向量绕点0按顺时针方向旋转角,得到向量表示的复数就是商. 【例9】（多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（    ） A． B． C． D． 【例10】在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【变式5-1】（多选）已知复数，其在复平面内对应点，下列说法中正确的是（    ） A．复数的三角形式为 B．在复平面内将点绕坐标原点逆时针旋转后到达点，点所对应的复数 C．在复平面内将点绕坐标原点顺时针旋转后到达点，点所对应的复数为，则 D． 【变式5-2】将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是