5.3.6与平行线有关的辅助线问题课件 2023—-2024学年人教版数学七年级下册

5.3.6与平行线有关的辅助线问题 　　在一些几何问题中，如果单靠图形中现有的条件无法解决问题，那么可结合已知条件和图形的特点添加辅助线，使题目中的已知条件和所求结论能很好地联系起来，从而使问题得到解决． 辅助线在平行线中的应用 　　例1　如图，已知∠B＝120°，∠E＝80°，∠C＝20°，试说明 AB 与 CD 的位置关系． 　　分析：本题要判断 AB 与 CD 的位置关系，由图可判断是平行关系，关键是通过作辅助线“搭桥”来严格说明． A B C D E 解：在∠BEC内部作∠CEF＝∠C＝20°，如图，则CD∥EF． ∵ ∠B＝120°，∠BEC＝80°， ∴∠BEF＝∠BEC－∠CEF＝60°，∴∠BEF＋∠B＝180°． ∴AB∥EF．∴AB∥CD． F 　　例1　如图，已知∠B＝120°，∠E＝80°，∠C＝20°，试说明 AB 与 CD 的位置关系． A B C D E 　　 　　添加辅助线(直线、射线或线段)是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”．当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题． 　　例2　如图，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，则 AB 与 CD 平行吗？为什么？ 　　分析：过点 E 构造 AB 的平行线是解决此题的关键．可以先过点 E 作 AB 的平行线，再利用“两直线平行，同旁内角互补”以及已知条件判断所作直线与 CD 平行，最后利用平行公理的推论得到 AB∥CD． 　　解：平行．理由：如图，过点 E 作 ME∥AB． 　　根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知∠1＋∠B＝180°， 　　∵∠B＋∠D＋∠BED＝360°，∴∠2＋∠D＝180°， 　　∴ME∥CD，∴AB∥CD． M 1 2 　　例2　如图，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，则 AB 与 CD 平行吗？为什么？ 　　 　　当无法直接说明角或线段之间的数量关系或两直线的位置关系时，通常作辅助线来帮助解答．如何作辅助线需根据已知条件和所证结论确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起． 　　例3　如图，AB∥CD，P 为AB，CD 之间的一点，已知∠1＝34°，∠2＝26°，求∠BPC 的度数． 　　分析：此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形，需添加辅助线，把它转化成我们所熟悉的基本图形． 你能用多种方法添加辅助线解决此题吗？ 解：方法 1：过点 P 作射线 PN∥AB，如图． ∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝34°． ∵AB∥CD，∴PN∥CD． ∴∠4＝∠2＝26°． ∴∠BPC＝∠3＋∠4＝60°． 3 4 N P 解：方法 2：过点 P 作射线 PM∥AB，如图． ∵AB∥PM，∴∠5＝180°－∠1＝180°－34°＝146°． ∵AB∥CD，∴PM∥CD． ∴∠6＝180°－∠2＝180°－26°＝154°． ∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－146°－154°＝60°． 5 6 M 解：方法 3：过点 C 作 CE∥BP 交 AB 的延长线于点 E，如图． ∵CE∥BP，∴∠1＝∠E，∠BPC＝ 180°－∠7． ∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠7＝180°． ∴∠7＝ 180°－∠1－∠2＝120°． ∴∠BPC＝180°－∠7＝60°． 7 E 　　在有关图形的计算和推理问题中，常见到“折线拐角”型问题，解决这类问题的方法是经过拐点作平行线，联系已知角和未知角，从而化“未知”为“已知”，这种方法应熟练掌握．常见到的“折线拐角”图形如下： 　　例4　如图，已知 AB∥EF，∠BCD＝90°，求∠B＋∠D－∠E的度数． 　　分析：分别过点 C，D 作 AB 与 EF 的平行线，将∠B，∠D，∠E 化归为平行线的相关角来求解． 解：如图，过点 C 作CG∥AB，过点 D 作DH∥EF． ∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF． ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠E＝∠4． ∵∠CDE＝∠3＋∠4，∠BCD＝∠1＋∠2＝90°， ∴∠B＋∠CDE－∠E＝∠1＋∠3＋∠4－∠4＝∠1＋∠2＝90°． G H 1 2 3 4 　　 　　通过添加辅助线可将较复杂的几何图形转化为由平行线构成的基本图形，从而得到相关角之间的数量关系． 　　例5　如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD 的度数． 　　分析：由∠ABC 与∠CDE 的度数不能直接求出∠BCD 的度数，虽然 AB∥DE，但它们没构成基本的“三线八角”，需要找一中间量作为桥梁沟通 AB 和 DE，于是过拐点 C 作辅助线． 则∠DCH＋∠CDE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠CDE＝140°，∴∠DCH＝1