5.3.5与相交线与平行线有关的计算与证明课件 2023—-2024学年人教版数学七年级下册

5.3.5与相交线与平行线有关的计算与证明 相交线 6 7 1 2 3 4 5 8 两条直线相交 两条直线被第三条直线所截 邻补角 对顶角 垂直 同位角 内错角 同旁内角 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 判定 性质 　　例1　如图，直线 AB，CD 相交于点 O．EO⊥AB，∠3＝∠FOD，∠l＝27°，求∠2，∠3的度数． 解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝∠1＋∠2＝90°， 又∠1＝27°， ∴∠2＝90°－∠1＝90°－27°＝63°． 又∠1＋∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝180°－27°＝153°． 又∠3＝∠FOD，∴∠3＝ ∠AOD＝76.5°． ∴∠2＝63°，∠3＝76.5°． 　　 　　垂直是两条直线间的位置关系，一个角为90°是数量关系，垂直的定义建立起了两条直线垂直(位置关系)与一个角的度数为90°(数量关系)之间的联系． 例2　如图，AB 交 CD 于点 O，OE⊥AB． （1）若∠EOD＝20°，求∠AOC 的度数； 解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°， 即∠DOE＋∠BOD＝90°． （1）∵∠EOD＝20°， ∴∠BOD＝90°－20°＝70°． ∵∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD＝70°． 例2　如图，AB 交 CD 于点 O，OE⊥AB． （2）若∠AOC ∠BOC＝1 2，求∠EOD 的度数． 解：（2）由∠AOC ∠BOC＝1 2， 可设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x． 由补角的定义可知∠AOC＋∠BOC＝180°，∴x＋2x＝180°，解得 x＝60°． ∴∠BOD＝∠AOC＝60°， ∴∠EOD＝90°－60°＝30°． 　　 解决相交线所成角的思路 　　（1）有两直线相交时，分清对顶角和邻补角，考虑对顶角、邻补角的性质． 　　（2）有垂直时，考虑直角、互为余角的关系． 　　（3）有两条直线被第三条直线所截时，注意同位角、内错角、同旁内角的应用． 　　例3　如图，一辆汽车在笔直的公路上由 A 向 B 行驶，M，N是位于公路 AB 两侧的两所学校．若汽车在公路上行驶时会对学校教学造成影响，则当汽车行驶到何处时，分别对两学校教学影响最大？在图上标出． 　　解：如图，汽车行驶到点 C 时对学校 M 影响最大，行驶到点 D 时对学校 N 影响最大． C D 　　 　　在利用“垂线段最短”的性质来解决问题时，要注意区分它与“两点之间，线段最短” ，它们的应用条件是不一样的． 　　例4　如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些． 分析：从题图中分离出三个基本图形如下： 　　找到每个图形中的截线与被截线，便能根据角的位置关系做出判断． 　　例4　如图，在用数字标出的八个角中，请辨别同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些． 　　解：∠1与∠7为同位角，∠2与∠8为同位角， ∠4与∠6为同位角； 　　∠3与∠4为内错角，∠1与∠5为内错角，∠2与∠6为内错角，∠4与∠8为内错角； 　　∠1与∠6为同旁内角，∠2与∠5为同旁内角，∠2与∠4为同旁内角，∠4与∠5为同旁内角． 　　 分离法辨别复杂图形中的“三线八角” 　　要在一个复杂的图形中确定“三线八角”，先在复杂的图形中分离出“三线”．一般是从相邻的两个顶点处的角入手，其中两个角的公共边或在同一直线上的边所在的直线是截线，另一边所在的直线是被截线，然后根据角的位置关系来进一步判断． 　　例5　如图，已知直线 a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则 a 与 c 平行吗？ 解：a 与 c 平行．理由如下： ∵∠1与∠2是内错角，且∠1＝∠2， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行)． ∵∠3与∠4是同旁内角，且∠3＋∠4＝180°， ∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)． ∴a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行)． 　　 平行线判定的五种方法 （1）同一平面内，不相交的两条直线互相平行； （2）平行于同一条直线的两条直线平行； （3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行； （5）同旁内角互补，两直线平行． 　　例6　工人师傅把一个如图所示的零件进行加工，首先把材料弯成了一个45°的锐角，然后准备在 A 处进行第二次弯折加工，若要保证弯折后的部分与 BC 保持平行，则弯折处的角度应是___________． 　　解析：分两种情况：第一种情况就是被弯过来的部分与 BC 在 AB的同一侧，且平行，如图①，此时弯折处的角度为135°(同旁内角互补，两直线平行)；第二种情况是被弯过来的部分与 BC 分别在 AB 的两侧，但也是平行的，如图②，此时弯折处的角度为45°(内错角相等，两直线平行)． 所以答案为45°或13