1.5 数学归纳法（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.5 数学归纳法 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁？ 我不是四毛！我是小明！ 不完全归纳 猜：四毛！ 完全归纳 ？ 探究点 数学归纳法的原理与定义 问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法. 完全归纳法 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？ 猜想数列的通项公式为： 解: 不完全归纳法 从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法 验证: 逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？ 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立， 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒. 1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题. 2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况. 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下. 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？ 猜想数列的通项公式为 证明: (1)当 猜想成立. (2) 那么,当 根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. （1）第一张骨牌必须能倒下 （2）假若第k（k≥1）张能倒下 时，一定能推倒紧挨着它的 第k+1张骨牌 （游戏开始的基础） （游戏继续的条件） 分析： 能够使游戏一直连续运行的条件： 类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌，产生一种符合 运行条件的方法： （递推基础） （递推依据） 由（1）（2）知，游戏可以一直 连续运行。 由（1）（2）知，命题对于一切 n≥n。的自然数n都正确。 我们把以上证明关于自然数n的 命题的方法，叫做数学归纳法。 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立． 下面用数学归纳法证明等差数列通项公式： 例1:用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为 证明：（1）当 n =1时，左边=S1= a1，右边= ，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立. 那么当n=k+1时， 所以，n=k+1时等式也成立. 由（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立. 变式 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 时，等式成立，就是 那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 由（1）和（2），可知等式对任何 都成立． 例2:已知数列{an}满足 ，a1=0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：由 ，a1=0，得 归纳上述结果，可得猜想 . 用数学归纳法证明这个猜想： （1）当 n =1时，左边=a1= 0，右边= ，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立. 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知猜想 对于任意正整数n都成立. 计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 变式 已知数列 ， ， ， …， …， ， 解： 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n