专题6拓展培优4 解析几何中优化运算的常见技法（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优4　解析几何中优化运算的常见技法 层级三　攻坚克难抢分点 内容索引 回归定义，以逸待劳 技法一 设而不求，金蝉脱壳 技法二 专　题　集　训 巧设参数，变换主元 技法三 数形结合，偷梁换柱 技法四 二级结论，优化运算 技法五 技法一　回归定义，以逸待劳 01 返回 例1 √ 当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长．　　 感悟提升 针对练1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是 √ √ 因为直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，则OE⊥F1P，又△OF1P为等腰三角形，所以|OP|＝|OF1|，所以E为F1P的中点，所以OE∥PF2.所以PF1⊥PF2，|PF2|＝2|OE|＝2a，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，在直角△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，c2＝5a2，所以e＝ .故选A. 返回 02 返回 技法二　设而不求，金蝉脱壳 例2 √ 1．本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． 2．在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： (1)凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”． (2)“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　 感悟提升 √ 返回 技法三　巧设参数，变换主元 03 返回 例3 法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)． 又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4， 法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx， 设点P的坐标为(x0，kx0)． 法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)， |AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×kOP＝－1. 即bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ. 1．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易． 2．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．　　 感悟提升 针对练4.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围． 当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0， 则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段AB的中点M(2t2＋m，2t)， 而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即kMC·kAB＝－1， 把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0， 可得3－t2＞0，即0＜t2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 而由0＜t2＜3可得2＜r＜4. 故r的取值范围为(2，4)． 返回 技法四　数形结合，偷梁换柱 05 返回 例4 要求△APF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P的位置，通过求解点P的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．　　 感悟提升 √ 返回 技法五　二级结论，优化运算 05 返回 例5 √ √ (3)已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x2－ ＝1的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为____________． 2x－y－2＝0 圆锥曲线中的常见二级结论 1．焦点三角形的面积 感悟提升 2．中心弦的性质 设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点． 感悟提升 3．中点弦的性质 设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k. 感悟提升 4．圆锥曲线的切线方程 设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点， 感悟提升 (3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0)． 5．与抛物线的焦点弦有关的二级结论 过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ