专题4重难突破11 非线性回归问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破11　非线性回归问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 对数函数模型y＝c1＋c2ln x 类型一 求参数的最值(范围) 类型二 专　题　集　训 类型一　对数函数模型y＝c1＋c2lnx 01 返回 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 例1 1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1 点P的声音能量为I＝I1＋I2， 所以点P会受到噪声污染的干扰． 对数函数模型y＝c1＋c2ln x的求法 1．确定变量，作出散点图． 2．根据散点图，作出y＝c1＋c2ln x的函数选择． 感悟提升 针对练1.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W(单位：g)与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了lg W与lg f的散点图． 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重/g 25 200 300 2 000 5 000 30 000 50 000 脉搏率 670 420 300 200 120 85 70 为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①f＝kW＋b；②lg f＝klg W＋b. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； 模型②lg f＝klg W＋b最符合实际． 根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可选择一次函数来刻画lg W和lg f的关系． (2)不妨取表中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式． 参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5. lg 200＝2＋lg 2≈2.3，lg 2 000＝3＋lg 2≈3.3，lg 300＝2＋lg 3≈2.5. 返回 02 返回 类型二　指数函数模型y＝αe βx(α>0) 某景区的各景点从2010年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2011年至2020年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据： 例2 第x年 1 2 3 4 5 旅游人数y(万人) 300 283 321 345 372 第x年 6 7 8 9 10 旅游人数y(万人) 435 486 527 622 800 该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法求得y与x的经验回归方程 ＝50.8x＋169.7； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近. (1)根据表中数据，求模型②的经验回归方程 ＝aebx(a精确到个位，b精确到0.01)； (2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2023年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位). ③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2. 说明回归模型②的拟合效果更好． 2023年时，x＝13， 由表格中的数据，有30 407>14 607， 指数函数型y＝ebx＋a回归问题的处理方法 1．函数y＝ebx＋a的图象，如图所示． 2．处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 感悟提升 针对练2.(2023·广东江门一模)某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位：百万元)与其年销售量y(单位：千件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图． x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z＝ln y －0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 (1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx＋a和②y＝edx＋c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程(注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数)； 所以方案①的经验回归方程为y＝2.1x－3.4， 对y＝edx＋c两边取对数得ln y＝dx＋c，令z＝ln y，则z＝dx＋c是一元线性回归方程． 所以方案②的经验回归方程为y＝e0.6x－1.4 ； 2)根据下表中数据，用决定系数R2(不必计算，只比较大小