专题2重难突破7 数列中的证明及放缩问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破7　数列中的证明及放缩问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 关于数列项的不等式证明 类型一 先求和后放缩 类型二 专　题　集　训 先放缩后求和 类型三 求和后利用函数的单调性证明数列不等式 类型四 类型一　关于数列项的不等式证明 01 返回 例1 常见的放缩方法： 1．结合“累加”“累乘”“迭代”放缩． 2．利用二项式定理放缩． 3．利用基本不等式或不等式的性质． 4．转化为求最值、值域问题． 感悟提升 针对练1.已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝ an(n≥2，n∈N*)， (1)求an； 所以an＝n(n∈N*)． 返回 02 返回 类型二　先求和后放缩 已知数列{an}满足a1＝2，(n＋1)an＋1＝2(n＋2)an，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； 例2 所以an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)． 因为a1＝2，所以an＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)． (2)设Sn是数列{an}的前n项和，求证：Sn＜2an. 证明：因为an＝(n＋1)·2n－1， 所以Sn＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n·2n－2＋(n＋1)·2n－1①， 2Sn＝2×21＋3×22＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1＋(n＋1)×2n②， ②－①得Sn＝－2×20－(21＋22＋…＋2n－1)＋(n＋1)×2n＝n·2n. 因为Sn－2an＝n·2n－(n＋1)2n＝－2n<0， 所以Sn＜2an. 对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式． 感悟提升 针对练2.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，－an＋1，an，an＋2成等差数列．等差数列{bn}满足b1＝a2＋1，2b5－3b2＝a3－3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为－an＋1，an，an＋2成等差数列， 所以2an＝an＋2－an＋1， 所以2an＝an·q2－an·q. 因为an>0，所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)， 又a1＝2，所以an＝2n(n∈N*)． 设等差数列{bn}的公差为d， 由题意，得b1＝a2＋1＝5， 由2b5－3b2＝a3－3＝5， 得2(b1＋4d)－3(b1＋d)＝－b1＋5d＝－5＋5d＝5，解得d＝2， 所以bn＝b1＋(n－1)d＝5＋2(n－1)＝2n＋3(n∈N*)． 返回 类型三　先放缩后求和 03 返回 在数列{an}中，a1＝2，2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 例3 由题知2nan＋1＝(n＋1)an， 所以an＝n·22－n(n∈N*)． 由(1)可知an＝n·22－n， 根据指数增长的特征知，对任意n∈N*， 2n≥2n恒成立， 所以22n≥(2n)2，即4n≥4n2(n∈N*)． 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明． 感悟提升 针对练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋2n(n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn； 因为3an＝2Sn＋2n，n∈N*， 所以当n＝1时，3a1＝2S1＋2＝2a1＋2，解得a1＝2； 当n≥2时，3an－1＝2Sn－1＋2(n－1)， 两式相减得an＝3an－1＋2， 所以an＋1＝3(an－1＋1)， 所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝3n，则an＝3n－1， bn＝log3(an＋1＋1)＝log33n＋1＝n＋1， 返回 类型四　求和后利用函数的单调性证明数列不等式 01 返回 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an－Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 例4 已知2an－Sn＝1， 令n＝1，解得a1＝1， 当n≥2时，2an－1－Sn－1＝1(n∈N*)， 两式相减得an＝2an－1， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n－1(n∈N*)． 若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来 证明. 感悟提升 针对练4.已知等差数列{an}的公差d≠0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列. (1)求使不等式an≥0成立的最大自然数n； 由题意，可知a ＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 所以d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，d≠0， 所以d＝－2，所以an＝－2n＋27， 所以－2n＋27≥0，所以n≤13.5， 故满足题意的最大自然数为n＝13. 返回 专题集训 返回 05 1．