第11章三角形 专题突破 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破　 余角、补角模型 第十一章 三角形 专题突破　一线三等角模型 专题突破　双角平分线夹角模型 一、互余 1．如图，AD是△ABC的高，DH⊥AC于点H.求证：∠ADH＝∠B＋∠BAC. 证明：∵AD⊥BC，DH⊥AC， ∴∠ADC＝∠DHC＝90°， ∴∠ADH＋∠HDC＝∠ACD＋∠HDC＝90°， ∴∠ADH＝∠ACD＝∠B＋∠BAC. 2．如图，AC⊥BE于点C，ED⊥AB于点D，交AC于点F，交∠DAF的平分线于点M，EN平分∠DEB，交AB于点N.求证：AM⊥EN. 证明：延长AM交EN于点H. ∵AC⊥BE，ED⊥AB， ∴∠ACB＝∠EDB＝90°， ∴∠DAF＋∠B＝∠DEB＋∠B＝90°， ∴∠DAF＝∠DEB. ∵AM平分∠DAF，EN平分∠DEB， ∴∠DAM＝∠DEN.∴∠AHE＝∠ADM＝90°， ∴AM⊥EN. 二、互补 3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE，CD的延长线交于点G. (1)求证：∠ABC＋∠ADC＝180°； 证明：(1)∵四边形的内角和是360°， ∴∠ABC＋∠ADC＋∠A＋∠C＝360°， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°； (2)求证：BG∥DF. (2)∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CBG＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC， ∴∠CBG＋∠FDC＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°， ∵∠CFD＋∠CDF＝90°， ∴∠CBG＝∠CFD，∴DF∥BG. 模型介绍：顶点在同一条直线上的三个等角所构成的图形我们称之为“一线三等角”，如图1，2，∠1＝∠2＝∠3. 结论：∠D＝∠CBE，∠ABD＝∠E. 证明：(1)如图1，∵∠1＋∠D＝∠DBC＝∠2＋∠CBE，∠1＝∠2， ∴∠D＝∠CBE； 同理，∵∠ABD＋∠2＝∠ABE＝∠3＋∠E，∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠E； (2)如图2，∵∠D＝∠1－∠ABD，∠CBE＝∠2－∠ABD， ∠1＝∠2，∴∠D＝∠CBE； 同理，∵∠ABD＝∠2－∠CBE，∠E＝∠3－∠CBE， ∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠E. 1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点F落在BC上．求证：∠BDF＝∠CFE. 分析：由条件可得∠DFE＝∠A＝∠B＝∠C＝60°， 则可用一线三等角模型得∠EFC＝∠BDF. 证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝∠C＝60°， ∴∠A＝60°， ∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE＝60°＝∠B， ∵∠B＋∠BDF＝∠DFC＝∠DFE＋∠CFE， ∴∠BDF＝∠CFE. 2．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝∠C＝∠ADE，∠BAD＝21°，∠AED＝91°.求∠B的度数． 解：∵∠B＋∠BAD＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE， ∠B＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠CDE. ∴∠CDE＝21°， ∴∠C＝∠AED－∠CDE＝91°－21°＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°. 一、双内角平分线相交 1．如图，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， 设∠ABO＝x，∠ACO＝y. (1)试用含x，y的式子表示∠A，∠O； 解：(1)∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABO＝x，∠OCB＝∠ACO＝y， ∴∠A＝180°－2(x＋y)，∠O＝180°－(x＋y)； (2)求∠A与∠O之间的数量关系式． (2)由(1)得x＋y＝， 代入∠O＝180°－(x＋y)， 得∠O＝90°＋∠A. 二、双外角平分线相交 2．如图，设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y. (1)用含x，y的式子表示∠B与∠D； (2)直接写出∠D与∠B之间的数量 解：(1)∠D＝180°－∠2－∠3＝180°－(x＋y)， ∵∠BAC＝180°－2x，∠BCA＝180°－2y， ∴∠B＋(180°－2x)＋(180°－2y)＝180°， ∴∠B＝2(x＋y)－180°； (2)∠D＝90°－∠B. 三、内外角平分线相交 3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，探究∠D与∠A之间的数量关系． 解：∵∠4＋∠3＝∠1＋∠2＋∠A，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠4＝2∠2＋∠A， ∴∠4－∠2＝∠A， ∴∠D＝∠4－∠2＝∠A. 四、构内外角平分线相交 4．如图，BE是△ABC的角平分线，CF平分外角∠BCD，BF⊥CF于点F，若∠A＝α，求∠EBF的度数． 解：延长BE，FC交于点H，延长BC至点G. ∵∠BCF＝∠HCG，∠DCF＝∠ACH，∠BCF＝∠DCF， ∴∠ACH＝∠HCG. 又∵∠ABE＝∠CBE，由模型3可得∠H＝∠A＝α. ∵∠F＝90°，∠EBF＝90°－∠H＝90°－α. $$