第10招 旋转问题中作辅助线的技巧课件 2023-2024学年人教版九年级上册极速提分法

第10招 旋转问题中作辅助线的技巧 九年级数学（上）极速提分法 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，对角线AC＝m，求四边形ABCD的面积． 例 解题方法：此四边形不是特殊的四边形，要求面积通常需要将图形转化成规则的图形求解． 解：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，如图． 则AC＝AE，∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE. ∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°. ∴点C，D，E在同一条直线上． ∵∠BAD＝60°，∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝60°. 又∵AE＝AC，∴△AEC是等边三角形． 技巧1 利用旋转构成等腰三角形 1. 【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积． 【尝试解决】 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． (1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可将△DCB绕点D顺时针旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是__________； 等边三角形 【点拨】 由旋转的性质可得BD＝B′D，旋转角∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C. 又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即点B，A，B′三点共线， ∴△BDB′是等边三角形． (2)在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积； 解：由(1)知，△BCD≌△B′AD， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′，AB′＝BC＝1， ∴BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3. ∵△BDB′是等边三角形，∴BD＝BB′＝3. 解：如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°， 因此可将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD， 连接BB′，过点B′作B′E⊥AB，交BA的延长线于点E， 由旋转的性质可得△BCD≌△B′AD， ∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A. ∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°， ∴∠BCD＋∠BAD＝360°－∠ABC－∠ADC＝ 360°－75°－60°＝225°， ∴∠B′AD＋∠BAD＝∠BCD＋∠BAD＝225°， ∴∠BAB′＝360°－(∠B′AD＋∠BAD)＝ 360°－225°＝135°， ∴∠B′AE＝180°－∠BAB′＝180°－135°＝45°， ∴△B′EA是等腰直角三角形． 2. 【2023·衡水三中模拟】如图，P为等边三角形ABC内一点，PA＝5，PB＝4，PC＝3，求∠BPC的度数． 技巧2 利用旋转构成等边三角形 解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60° 得到△BDA，连接PD， 由旋转的性质得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3， ∠BPC＝∠BDA，∠DBP＝∠ABC＝60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°. ∵AD2＋DP2＝32＋42＝25， PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2， ∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°， ∴∠BDA＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°， ∴∠BPC＝∠BDA＝150°. 【点方法】 利用旋转作辅助线构造出直角三角形和等边三角形是解本题的关键． 3. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD， ∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：_________________. EF＝BE＋FD 技巧3 利用旋转构成轴对称图形 由AC＝m， 易得等边三角形AEC的高h＝m. ∴S△AEC＝m·m＝m2. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝S△ADE＋S△ADC＝S△AEC＝m2. 如图①，过点B′作B′E⊥BD于点E， 则易知BE＝BD＝，则B′E＝＝， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝×3×＝. 【类比应用】 如图③，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四边形ABCD的面积． ∵B′A＝BC＝，∴B′E＝AE＝1， ∴BE＝AB＋AE＝2＋1＝3， ∴BB′＝＝， ∴S△ABB′＝AB·B′E＝×2×1＝1. ∵∠BDB′＝60°，BD＝B′D，∴△BDB′为等边三角形．易知△BDB′的高为， ∴S△BDB′＝××＝， ∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′－S△ABB′＝－1. (2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D