新定义问题-2024年北京市期末考试数学试题汇编（六）

北京期末试题汇编（六）——新定义问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2024上·北京顺义·高三统考期末）给定正整数，设集合．若对任意，，，两数中至少有一个属于，则称集合具有性质． (1)分别判断集合与是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合中包含6个元素，且，求集合． 2．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 3．（2024上·北京东城·高三统考期末）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. (1)若数列具有性质，求的值； (2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； (3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 4．（2024上·北京丰台·高三统考期末）对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． (1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② (2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； (3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. (1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； (2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； (3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 6．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且. 7．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 8．（2024上·北京西城·高三统考期末）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. (1)当，时，写出所有满足的数对序列； (2)当时，证明：； (3)当为奇数时，记的最大值为，求. 9．（2024上·北京海淀·高三统考期末）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数. (1)对以下两个数表，，写出，，，的值； (2)若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：； (3)当时，求的最小值. 10．（2024上·北京房山·高三统考期末）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. (1)若具有性质“”，且，，，求； (2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； (3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 11．（2024上·北京大兴·高三统考期末）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记. (1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； (2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项； (3)若是数列，证明：存在正整数，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2) (3)，，或 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有性质， 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质； （2）若集合具有性质，记，则， 令，则，从而必有， 不妨设，则，且， 令，，则，且，且， 以下分类讨论： 1）当时，若，此时，满足性质； 若，舍；若，无解