导数-2024年北京市期末考试数学试题汇编（五）

北京期末试题汇编（五）——导数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上存在极值，求实数的取值范围： (3)写出的零点个数．（直接写出结论期可） 2．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数. ①若在处取得极大值，求的单调区间； ②若恰有三个零点，求的取值范围. 3．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求证：函数在上有极大值，且. 4．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的取值范围． 6．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)讨论在区间内极值点的个数； (3)若在区间内有零点，求证：. 7．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)判断极值点的个数，并说明理由． 8．（2024上·北京西城·高三统考期末）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由. 9．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； (2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 10．（2024上·北京房山·高三统考期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围. 11．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求的值； (2)当时，求的零点个数； (3)证明：是为单调函数的充分而不必要条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可结合极值的定义求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解交点个数求解. 【详解】（1）当时，，则， 故，， 在点处的切线方程为，即 （2）， 当时，在单调递增，此时无极值点， 当时，令或， 要使得在上存在极值，则需要，解得， （3）令， 令，则， 记，则， 当时，单调递减，时，单调递增， 且，时，， 而当时，， 作出的大致图象如下： 故当时，无零点， 当或时，一个零点， 当时，两个零点， . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．(1) (2)①单调递减区间为，单调递增区间为和；② 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）①对求导后，令，结合在处取得极大值可得的范围，即可得的单调区间； ②由，可得是的一个零点，故有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根，构造函数，利用导数讨论函数的单调性后计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）①因为函数， 所以， 所以， 令，得，或， （i）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极小值，此时不符合题意， （ii）当时，即时，， 所以在区间上单调递增， 所以在处不取极值，此时不符合题意， （iii）当时，即时， 令，得；令，得，或， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增， 所以在处取得极大值，此时符合题意， 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为和； ②因为， 所以， 所以是的一个零点， 因为恰有三个零点， 所以方程有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根， 令，所以， 令，得，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，的值域为；当时，的值域为， 所以，且， 所以，且， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本体最后一问关键