解析几何-2024年北京市期末考试数学试题汇编（四）

北京期末试题汇编（四）——解析几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值． 2．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知椭圆的短轴长为2，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上､下顶点分别为点，过点的直线与椭圆交于不同两点，且，直线与直线交于点，求证：点在一条定直线上. 3．（2024上·北京东城·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线. 4．（2024上·北京丰台·高三统考期末）已知椭圆． (1)求椭圆的离心率和焦点坐标； (2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 5．（2024上·北京石景山·高三统考期末）已知椭圆，离心率为，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形． 6．（2024上·北京朝阳·高三统考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点.判断点是否为线段的中点，说明理由. 7．（2024上·北京昌平·高三统考期末）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 8．（2024上·北京西城·高三统考期末）已知椭圆：的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交于点（点与点不重合）.设的中点为，连接并延长交于点.若恰为的中点，求直线的方程. 9．（2024上·北京海淀·高三统考期末）已知椭圆过点，焦距为. (1)求椭圆的方程，并求其短轴长； (2)过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点.设直线的斜率为，求的最大值. 10．（2024上·北京房山·高三统考期末）设椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，已知，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是椭圆上的一个动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的4倍，求直线的方程. 11．（2024上·北京大兴·高三统考期末）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)1 【分析】（1）根据，把点代入，即可求出椭圆方程． （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，，计算直线的斜率与直线的斜率的和，即可根据对称求解. 【详解】（1）由于，设所求椭圆方程为， 把点代入，得，， 椭圆方程为． （2）设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设， ，，，所以, 直线直线斜率为， 直线直线斜率为， 则 所以，，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 故直线与直线关于对称， 因此． 故 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 2．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由短轴长及离心率和之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得的坐标，设直线的方程，与椭圆联立得到韦达定理，求出直线，再求两条直线的交点的坐标； 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2， 所以.所以. 因为离心率为，所以. 所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）①若直线的斜率不存在，不符合题意. ②若直线的斜率存在，设为，所以直线的方程为. 联立方程组消去，化简得. 所以，得，或. 因为，且， 所以. 直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 因为直线与直线交于点， 所以点的纵坐标. 所以 . 所以点在直线上. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；