课时作业（十七）复数的三角表示-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

课时作业（十七） 复数的三角表示 答案见P I基础训练 9.将下列各复数的三角形式与代数形式相互转化. (1)25-2i: 1.复数x=4(cos+isin)的代数形式是 (2)-2i: ( A.2+2 (3)3v2(cos暂+isim）: B.-2+23 C.2-2i D.-2-23i (48(cos+isn）) 2.复数2(co开+isin牙)的模是 A.1 B.2 C.2 D.2② 3.(选)复数2的三角形式可以是 A.2(cos 0+isin 0) B.2(cos元十isinπ) C.2(cos2r+isin2π) D.2(cos 3m+isin 3x) 4复数2(sm琴+ios号)的一个辐角是（） A.0 B晋 C08 10.求证： +i 3 c D cos看+idn号 5若复数=(s十im)=2B,(w晋十 isin),则急的模为 ( A.62 B.45 C.23 D.6 6.若复数灯=4(cos300°+isin300°)，= 8(cos60°-isin60°).则2 21 A.2 B.2i C.-2 D.-2i .(是+)÷[(@誓+m]= 8计算：3(eos音+im音)×[22(cos+ isn15)]- ·189▣ 能力提升川 ‖拓展探究 11.(多选)已知单位向量O乙，OZ分别对应复数 15.设x∈C,4z十2e=3w3+i,=sin0-icos0(0 :,,且OZ·OZ=0,则4可能为 为实数，i为虚数单位). (1)求复数之的代数形式和三角形式： A.i B.1 (2)求e一的取值范围. C.-1 D.-i 12.(多选)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数 函数和三角函数的关系，并写下公式e“= cosx+isin(x∈R,i为虚数单位)，这个公式 在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学 中的天桥”，据此公式，则有 A.em+1=0 (侵+1 C.|er+et|≤2 D.-2≤e'-et≤2 13.复数一√3一i的共轭复数的辐角可以表示为 14.如果向量OZ对应复数一2i,OZ绕原点O 按顺时针方向旋转45后再把模变为原来的 倍得到向量OZ,求与OZ对应的复数（用代数 形式表示). 16.设O为复平面的原点，A,B为单位圆上的两 点，A,B所对应的复数分别为1,2，且名， 的辐角主值分别为a,R.若△AOB的重心G对 应的复数为了十i,求ama十m。 ·190·3.C解扬由题意可得=中-3=1-3i,则：=1十3i, 对于C项，当=为时，购=，所以一= (12)(1)一（名1）()=0型一1=0，故 因此|=√+3=√10.故选C项， C项正确：对于D项，当=时，购==，可 4D圆题周为-名二昌-号一多所以复数 得一的好=1（一）=0，因为刘1≠0，所以=，故 D项错误.故选BC项. :在复平面内对应的点（分，一号）位于第四泉限故 14解析设，在复平面中对应的向量为O,OZ,十 选D项. 对应的向量为OZ,如图所示，因为如十=√3一1，所以 5.C解析：=(2+i)(1+ai)=(2-a)+(2a+1)i,又g为纯虚 s+=V雨=2，所以m∠02乙=装5x 数，所以 2-a=0,所以a=2.故选C项。 1 2a+1≠0. ,又周为∠02Z+∠Z02=180,所以cs∠Z02 1-02=1-2i+=-24=-i. 6.c霸周为a年 2 ∠0%乙=-子，所以Z五玄P=0财+0M-20%· 20 所以(》 =(-i)2咖=i复数的虚部为1.故选C项. 0Z2·c0s∠20Z2=1+4+1=6,所以ZZ1=|a-。=6. 7解析因为<，所以 -4<3张，。解得k=2或=3 k2-5k+6=0, 答案2或3 1 8.解析利用求根公式可知，一个根为一1十3i,另一个根为一1一 答案V6 -1+3i+(-1-3i)=-6 15.C1 3i,由韦达定理可得 整理得 南-昌-士牛9，国 2 (-1+3i0(-1-3i)=￡， a 为复量一行是虚数单位，a∈R)是纯度数，所以 b=2, (9十2=0解得a=一2，所以0=2i,则乙(0,2)，由于=1， 所以b=2a,c=10a,所以a:b：c=a:2a:10a=1: l2-a≠0， =10 故设Z(x,y)且十y=1,一1≤y≤1，所以|ZZ|= a √2+(y一2)F=√22+y+4-4y=√5-4小≤√5+4= 2:10. 3,故点Z与Z。之间的最大距离为3.故选C项， 答率1：2：10 9.解析(1)十=1十i+x十2i=(1+x)十(x+2)i, 16.解扬1)依题意，=m-3+,3 -3 因为十在复平面内对应的点在第二象限， 所以士0解得-2<-1. 所以-=m+2一3+(2十号) x+2>0, (n2+2-3=0, 所以x的取值范围为（一2，一1）