7.3 复数的三角表示-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P如 1.(2021·全国乙)设i这=4+3i,则x= (2)若之是关于x的方程x一mx十5=0的一 A.-3-4i B.-3+i 个虚根，求实数m的值. C.3-4i D.3+4i 2.(2022·全国甲)若之=1十i,则1iz+3交= A.45 B.4v2 C.2v5 D.22 人(2021·新高考Ⅱ)复数号在复平面内对应 的点所在的象限为 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 +.已知复数x=1一21 (1)若=2：十%，求复数的共轭复数； 提示完成P课时作业（十六）和P培优训练（三） 7.3复数的三角表示 [学习目标]1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之问的关 系.3.了解复数桑、除运算的三角表示及其几何意义，4，发展数学抽象和数学运算的核心素养 必备知识·基础落实 答案见P如 要点一 复数的三角表示式 3.复数的两种形式的互化 1.定义 (1)在a十bi=r(cos0+isin0)中，r= 如图所示，一般地，任何一 .Z:a+bi cos 0= .,sin 0= 个复数之=a十bi都可以表 (2)在r(cos0+isin0)=a十bi中，a=, 示成r(cos0+isin0)的形 b 式.其中，r是复数x的 0 要点二复数乘、除运算的三角表示及其几何 :0是以x轴的非负半轴为始边，向量 OZ所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数 意义 之=a十bi的 .r(cos0+isin0)叫做复 1复数乘法运算的三角表示 数x=a十bi的三角表示式，简称三角形式.a十 如果=n(cosa十isin 0),=r(cosa2+ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. isin),那么=n(cos0十isin 0）· 2.辐角的主值 规定在 范围内的辐角日 r2(cos 02++isin 0:) 的值为辐角的主值，记作 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数 即 的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。 ·54 第七章复数 2.复数乘法的几何意义 把OZ绕点O按顺时针方向旋转角 两个复数1,2相乘时，可以 (0>0,如果2<0，就要把OZ按逆时针方向 像图中那样，先分别画出与 旋转角 ),再把它的模变为原来 ,对应的向量OZ,OZ, 1+ 的 ,得到向量O立，O立表示的复数就 然后把向量OZ绕点O按逆 时针方向旋转角 (0>0,如果0< 是商 0,就要把OZ绕点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍，得到向量OZ,OZ表示的复数就是积1. 3.复数除法运算的三角表示 析 如果ǎ=n(cosa十isin),=2(cos&十isin☑)， 且1≠a,≠0，那么兰-n(os0十isin0) 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” zra (cos 02 +isin 62) (1)z=r(cos0十isin0)是复数x=a十i的三角 这就是说，两个复数相除，商的 形式，其中0的值有无数个 () 模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商 (2)arg2022=0. () 的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所 (3)任何一个不等于零的复数的辐角的主值都 得的差. 是唯一的 4.复数除法的几何意义 (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐 如图，复数，2对应的向量分别为OZ,OZ, 角的主值分别相等. 关键能力素养提升 答案见P如 探究一 复数三角形式的有关概念 【变式1】当0<0<5时，复数x=tan0十i的辐角 解题技巧 的主值是 判断复数的三角形式与求解复数的辐角的 A.0 B8-0 主值，要严格按照复数的三角表示式进行， C.π-0 对于不是以复数的三角形式表示的式子，要 n.经-0 根据复数三角形式的定义将其转化，再进一 探究二 复数的代数形式与三角形式的互化 步判断 规律总结 【例题1】复数z=2(cos30°-isin30)的辐角的 主值是 ( (1)将复数的代数形式化为三角形式，其步 A.30 B.150° 骤是求出模r、确定复数对应的点所在的象 C.210° D.330 限、求出辐角0、写成三角形式r(cos0十isin). (2)将复数的三角形式化为代数形式，先求 复数的实部a=rcos0和虚部b=rsin0,再 将复数写成代数形式a十i. 55 数学必修第二册课堂学案 【例题2】画出下列复数对应的向量，并把这些复 原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转 数表示成三角形式 60°和30°，则所得的向量对应的复数（用代数 (1)1+i: 形式表示)分别为 (3)计算：5(cos吾+isin）·2(cos开+ isin） 【变式3】(1)已知复数1=(cos号+isin), 【变式2】复数=4(co