6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用 【例题4】已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC 【变式4】设向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC (9,16),求证：A,B,C三点共线 (10,k),当k为何值时，A,B,C三点共线？ 444+44444+44444+44444+4444444444444+444 44444444444444444444444444+年444 随堂检测·学以致用 答案见P 1.若点A(1,1),B(-1,1),则向量AB=( )3.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a十b与4b A.(0,2) B.(2,0) 2a平行，则实数x的值是 C.(-2,0) D.(0,-2) 4.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的 2.若a=(2,3),b=(-3,1),则a十b= 边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0), A.(1.-4) B.(-1,4) B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为 C.(-1,-4) D.(4,-1) 提示完成P课时作业（七） 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角（重点）.2.能用坐标表示平 面向量共线、垂直的条件（重点）.3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 必备知识·基础落实 答案见P 要点一平面向量数量积的坐标表示 点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作 若a=(,M),b=(,2),则a·b 用是什么？ 即两个向量的数量积等于 >思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特 ·23· 数学必修第二册课堂学案 要点二两个向量垂直的坐标表示 析 设两个非零向量a=(x,”),b=(x2,2),则 判断正误，正确的画“、√”，错误的画“X” a⊥b台 (1)向量的模等于向量坐标的平方和.() 要点三用坐标表示的三个重要公式 (2)若向量OF,=(2,2),O2=(-2,3)分别表 1.向量的模的公式：设a=(x,y),则1a 示两个力F1,F2,则F十2=5. () 2.两点间的距离公式：若A(x1,y),B(x2,), (3)两个非零向量a=(m,边)，b=(x2,2),满 则|AB 足x2一x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. 3.向量的夹角公式：设两非零向量a=(1,y), b=(x2,2),a与b的夹角为0，则cos0 (4)向量的夹角公式仅适用于两个非零向量. a·b albl ( 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 平面向量数量积的坐标运算 【变式1】(1)在平行四边形ABCD中，AC=(1, 2),BD=(-3,2),则AD.AC 规律总结 (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是边 (1)数量积运算的两个途径：①先将各向量 AB上的动点，则DE·CB的值为 用坐标表示，直接进行数量积运算。 DE·DC的最大值为 ②先利用数量积的运算律将原式展开，再依 探究二 平面向量的模 据已知条件计算。 (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的 规律总结 题目，注意把握图形特征，并写出相应点的 (1)用字母表示的向量的模的运算：利用 坐标即可求解：对于条件中未给出向量坐标 a=a,将向量的模的运算转化为向量与 的，可通过建系转化为坐标运算， 向量的数量积的问题 (2)用坐标表示的向量的模的运算：若a 【例题1】已知向量a=(2,4),b=(1,2). (x,y),则a·a=a=a=x2+y2,于是有 (1)求a·b: (2)若c=(2,-1),求(a·b)·c及a·(b·c). a=π+y. 【例题2】已知向量a=(cos0,sin0),向量b= (w3,0),求2a-b的最大值. 444444444444444444444+444444 24 第六章平面向量及其应用 【变式2】(1)(2023·北京)已知向量a,b满足 Aλ+十4=1 B.入十4=-1 a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则a2-b2= C.=1 D.a红=-1 ( (2)(2023·全国甲)已知向量a=(3,1),b= A.-2 B.-1 (2,2),则cos(a+b,a-b》= () C.0 D.1 (2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+ A品 R哥 b=(1,3),则1a-2b= cf n 探究三平面向量的夹角和垂直问题 规律总结 (1)利用数量积的坐标表示求两向量夹角的 步骤： ①求向量的数量积.利用向量数量积的坐标 【变式3】已知向量a=(4,3),b=(-1,2). 表示求出这两个向量的数量积 (1)求a与b的夹角0的余弦值： ②求模.利用|a|=√x2+y计算两向量 (2)若向量a一b与2a+b垂直，求A的值. 的模 ③求夹角余弦值由公式c0s0- 0.3十M3业 十i·十