6.2.3 向量的数乘运算-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

数学必修第二册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见P型 L.(多选)非零向量m与n是相反向量，下列结论 正确的是 A.m=n B.m=-n C.m=n D.方向相反 2.在△ABC中，AB=a,AC-b,则BC=( A.a+b B.b-a A.a+b B.a-b C.c-b D.b-c C.b-a D.-a-b 4.化简：(1)PB+OP-OB 3.如图，已知六边形ABCDEF是一个正六边形， 0是它的中心，其中OA=a,OB=b,O心=c,则 (2)OB-OA-0元-C0= EF= ( 提示完成P课时作业（三） 6.2.3 向量的数乘运算 [学习目标]1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，2.理解两个平面向量 共线的含义.3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义（重点）.4.提升数学运算和数学抽象的核心 素养 必备知识基础落实 答案见P型 要点一 向量的数乘运算 >练习：（多选）下列说法正确的是 () 1.定义 A.若a=0,则a=0 一般地，我们规定实数入与向量a的积是一个 B2a+b+号a-30)=9a-2b ,这种运算叫做向量的 ,记作 ,它的长度与方向规定如下： C若a=3,b=,则1-2a=-6.3b1= (1)a= D.若a与b是相反向量，则5a与一4b的方向 (2)当 时，a的方向与a的方向相同：当 相同 时，a的方向与a的方向相反. 要点二向量共线定理 特别地，当A=0或a=0时，0a= 或A0 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯 :当=一1时，(-1)a=-a. 一一个实数λ，使得b=a 2.运算律 析 设入牡为实数，那么 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” (1)a(a) (1)对于任意实数m和向量a,b,若a-b, (2)(λ+)a= 则a=b. () (3)a(a+b)= (2)若a,b共线，则存在唯一的实数A,使a= 特别地，有（一A)a=-(a)= 入 Ab. () (a-b)= (3)若两个非零向量a,b满足a=b(k≠0)，则 3.向量的线性运算 a,b方向相同. () 向量的 运算统称为向量的 线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数 (4)若m=3a十4b,n= 2a+2b,则mm. 入出，恒有(a土b)= 士y2b. ·10· 第六章平面向量及其应用 关键能力，素养提升 答案见P型 探究一 向量的线性运算 探究二 用已知向量表示其他向量 规律总结 解题技巧 向量的线性运算类似于代数多项式的运算， 用已知向量表示其他向量的求解思路 共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角 公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是 形或平行四边形中， 向量.在进行向量的线性运算时，要注意三 (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法 角形法则和平行四边形法则的应用 则及向量共线定理用已知向量表示其他 【例题1】计算下列各式. 向量 (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a): (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角 (2)0[2(2a+8b)-44a-2b)]. 形法测或平行四边形法则建立关于所求向 量和已知向量的等量关系，然后解关于所求 向量的方程。 【例题2】已知△ABC的边BC上有一点D满足 BD=3D心，则AD可表示为 () A.AD=-2AB+3AC B.AD-3AB+IAC C.AD-1AB+3AC D.Ai=号A+}AC 【变式】化简：号[4a一3b)+号b}60-7b] 【变式2】在平行四边形ABCD中，AE=专AB, CF=CD,G为EF的中点，则D亡-() A2A0-号AB BA店-2Aò CA心-A D2A店-A舫 11 数学必修第二册课堂学案 探究三向量共线定理的应用 【例题3】已知e,是两个不共线的向量，若AB= 2e-8e2,CB=e,+3e,CD=2e,-e,求证： 规律总结 A,B,D三点共线. (1)判断或证明A,B,C三点共线，只需看是 否存在实数x,使得AB=入AC(或BC 入AB等有公共点的两向量)即可. (2)已知向量共线求λ，常根据向量共线的条 件转化为相应向量系数相等求解。 (3)若平面内三点A,B,C共线，O为不同于 A,B,C的任意一点，则存在实数入，以使 【变式3】设向量a,b不平行，向量a+b与a十2b 0元=AOA+红OB,并且A十u=1 平行，则实数入= 随堂检测·学以致用 答案见P5 L.下列各式中不表示向量的是 ( 3.已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，点O A.0a B.a+3b C.3a D.20 为BD的中点，若AB=a,AC=b,则AO= 2.(多选)下列各式计算正确的有 (用a,b表示). A.(-7)×6a=-42a 4.已