广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷

2023～2024学年度上学期2022级开学考试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 1. 若复数（为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，若，则等于 A 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 6. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，角的平分线，则长为 A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则“”是“且”的必要不充分条件 B. “”是“”的充要条件 C. “”是“”成立的充分条件 D. 若，则“”是“”的充分不必要条件 11. 下列结论中，正确的结论有（ ） A. 如果，那么的最小值是2 B. 如果，，，那么的最大值为3 C. 函数的最小值为2 D. 如果，，且，那么的最小值为2 12. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ） A. 正四面体棱长为6 B. 正四面体的内切球的表面积为 C. 正四面体的外接球的体积为 D. 线段的最大值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知，则＝_____. 14. 在正三棱柱中，已知，，则异面直线和所成角的正弦值为______. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的面积为，则外接圆的面积为______. 16. 某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图2）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字型区域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为99元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），则绿化花园总造价S的最小值为______元． 四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其他每小题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 （1）若角终边过点，求； （2）若，求的值. 18. 如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 19. 2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中a的值； （2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数） （3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率. 20. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且. （1）求小岛与小岛之间的距离和四