14.2 勾股定理的应用导学课件2023-2024学年 华东师大版八年级数学上册

14.2 勾股定理的应用 第14章 勾股定理 逐点 学练 本节小结 作业提升 学习目标 本节要点 1 学习流程 2 确定几何体表面上两点间的最短路线长 勾股定理的应用 知识点 确定几何体表面上两点间的最短路线长 感悟新知 1 1. 求长方体表面上两点间的最短路线长的方法 (1)将长方体的表面展开成平面图形，展开时要考虑各种可能的情况； (2)在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连结成线段； (3)利用勾股定理分别求每种情况中线段的长度； (4)对各线段长度进行比较，长度最短的线段为最短路线. 感悟新知 示例 长方体表面上A，B两点间的最短距离 感悟新知 2. 求圆柱体侧面上两点间的最短路线长的方法 (1)将圆柱体的侧面展开，确定两点的位置，连结两点的线段即为最短路线； (2)构造直角三角形，利用勾股定理求其长度. 感悟新知 特别解读 1. 在平面上寻找两点之间的最短路线的依据： (1)两点之间线段最短； (2)直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短. 2. 在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短路线长不一定是两点间的线段长. 3. 确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短路线. 感悟新知 如图14.2-1，圆柱体的高为40 cm，底面周长为60 cm， 一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱体的侧面爬到点B，然后另找一条路线爬回点A，求蚂蚁爬行的最短路线的长度. 例 1 解题秘方：先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求路线长. 7 感悟新知 解：将圆柱体的侧面展开如图14.2-2，连结AB、A′B. 在Rt △ ABC 中，BC=40 cm，AC= AA′= =30(cm)， 由勾股定理得AB= =50(cm). 同理可得A′B=50 cm，则最短路线的长度为AB+A′B=50+50=100(cm). 答：蚂蚁爬行的最短路线的长度为100 cm. 感悟新知 1-1. 如图，长方体的底面两条边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm. 如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm. 10 知识点 勾股定理的应用 感悟新知 2 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 感悟新知 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 感悟新知 特别提醒 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1. 从实际问题中抽象出几何图形； 2. 确定要求的线段所在的直角三角形； 3. 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4. 求得结果. 感悟新知 如图14.2-3， 在Rt△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=3，BC=4，CD⊥ AB，垂足为D. 求CD的长. 例2 解题秘方：紧扣“直角三角形的面积的两种表示法”求解. 感悟新知 解：∵∠ ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴ AB= ∵ CD ⊥ AB，∴S△ABC= AB·CD= AC·BC. ∴ AB·CD=AC·BC. ∴ CD= 14 感悟新知 2-1. 如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF 大1，则EF的长为( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 A 15 感悟新知 如图14.2－4，在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AM是 中线，MN ⊥ AB，垂足为N. 求证：AN2－BN2=AC2. 例 3 解题秘方：将要证明的线段归结到不同的直角三角形中， 结合等式性质证明. 16 感悟新知 证明：∵ MN ⊥ AB， ∴在Rt △ AMN 中，AN2+MN2=AM2， 在Rt △ BMN 中，BN2+MN2=MB2. ∴ AN2－BN2=AM2－MB2. 在Rt △ AMC 中，∵∠ C=90°，∴ AM2－MC2=AC2. ∵ AM 是中线，∴ MC=MB. ∴ AM2－MB2=AC2. ∴ AN2－BN2=AC2. 17 感悟新知 3-1. 如图，在Rt △ ABC中， ∠ C=90 °，AM=CM，MP ⊥ AB 于点