7.3 复数的三角表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3 复数的三角表示 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示. 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系. 3.了解辐角、辐角的主值等概念. 4.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 学习重难点 学习重点 复数的三角表示. 学习难点 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 新课引入 新课学习 复数的三角形式 辐角与辐角主值 例题巩固 D 复数代数形式和三角形式的转化 复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式，我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化. 特别注解: 复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法,它们可以相互转化. 复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值. 探索一下 两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？ 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定，因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 探索一下 即 复数三角形的乘法法则 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数乘法的几何意义 特别注解 探索一下 复数的除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗? 复数三角形式的除法法则 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 复数除法的几何意义 例题巩固 课堂巩固 D D D D 总结 1.复数的三角表示法 （1）复数的三角形式 （2）辐角与辐角主值 （3）复数代数形式和三角形式的转化 （4）复数相等的三角形式 2.复数的乘除运算的三角表示 复数的乘法运算的三角表示以及几何意义 复数的除法运算的三角表示以及几何意义 如图所示，复数 与向量 一一对应， 复数 由向量 的坐标 唯一确定.我们知道向量 也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助 向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？ 如何表示？ 记向量的模 ，由上图可以得到（由三角函数定义得）， 所以 其中 ， ， . 一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数 的模； 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角. 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作 ，即 . 注： ， ， ， . 例1：复数 的辐角的主值是( ) A.50° B.220° C.310° D.320° 解析： EMBED Equation.DSMT4 ，所以复数z的辐角的主值为 .故选D. 如果把复数 ， 分别写成三角形式 ， ， 你能计算 的结果并将结果表示成三角形式吗？ 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 两个复数 相乘时，可以像下图那样，先分别画出 与 对应的向量 ，然后把向量 绕点O按逆时 针方向旋转角 （如果 ，就要把 绕点O按顺时针 方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 .这就是复数乘法的几何意义. ， 的几何意义： （1）设 ，作与 ， 对应的向量 ， ，然 后把向量 ，绕原点 按逆时针方向旋转，得到一个长度为1，辐角为 的向量 ，则 即为积 所对应的向量. （2）设 ，作与 ， 对应的向量 ， ，然 后把向量 ，绕原点 按逆时针方向旋转，得到一个长度为1，辐角为 的向量 ，则 即为积 所对应的向量. 设 ， ，且 ，因为 ， 所以根据复数除法的定义，有 . 设两个复数 ， 对应的向量分别为 ,， ，把向量 绕原点 按 顺时针旋转角 （如果 ，就要把 绕原点 按逆时针方向旋转角 ），然后把它的模变为原来的 倍，得到向量 ， 表示的复数就是 . 例2：把下列复数表示成代数形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解析：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 1.若复数 ，则z的辐角的主值为( ) A. B. C. D. 解析：因为 ，所以 ，所以复数z的辐角的主值为 .故选D. 2.复数 （i为虚数单位）的三角形式为( ) A. B. C. D. 3. ( ) A. B. C. D. 解析： EMBED Equation.DSMT4 .故选D. 4. ( ) A. B. C. D. 解析： E