第五章生活中的轴对称 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

授课主题 轴对称图形 年 级 七下 知 识 梳 理 知识点1-1 轴对称图形及轴对称性质 1、轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条． 2、两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴． 3、轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点． 类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角． 知识点1-2 利用轴对称作图 1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴． 2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤 方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形． 知识点1-3 轴对称的应用（最短路径） 基本问题：在直线上找一点，使得其到直线异侧两点、的距离之和最小． 变式1：在直线上找一点，使得其到直线同侧两点、的距离之和最小． 变式2：直线、交于，是两直线间的一点，在直线、上分别找一点、，使得的周长最短． 知识点1-4 等腰三角形性质及判定 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形称为等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另外一边叫做底，腰和底的夹角叫做底角，两腰的夹角叫做顶角．特别地，三边相等的三角形叫做等边三角形． 2、等腰三角形性质 （1）等腰三角形的两个底角相等，可简写成“等边对等角”． （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）． 注意：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线都是等腰三角形的对称轴． 3、等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形或正三角形，它是特殊的等腰三角形； 性质：等边三角形除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：（1）有三条对称轴；（2）每个内角都等于60°，三条边都相等． 判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形； （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点1-5 线段垂直平分线 1、线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴． 2、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 注：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 注：对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． 4、作图 已知：线段．求作：的垂直平分线．作法：（1）分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和．（2）作直线． 直线就是线段的垂直平分线． 知识点1-6 角平分线 1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2、性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，已知平分，，，则． 3、利用尺规，作的平分线． 求作：射线，使． 作法：（1）在和上分别截取，，使． （2）分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． （3）作射线．就是的平分线． 例题精讲 考点1：轴对称图形的识别 典例：剪纸艺术是我国古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的透空感觉和艺术享受．下列剪纸作品中，是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 巩固练习 1．下列图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 2．汉字书法博大精深，下列汉字“行”的不同书写字体中，是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 3．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是() A． B． C． D． 4．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 5．下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是( ) A．B． C． D． 6. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B