第1章 整式乘除 学案 2023-2024学年北师大版七年级数学下册

授课主题 乘法公式与整式乘除 年 级 七下 知 识 梳 理 知识点一、单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 注：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc. 注：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 注：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。 知识点四、平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2+b2；两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，a，b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y) （3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2) （4）符号变化：如(-a-b)(a-b) （5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p) （6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4) 知识点五、完全平方公式 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2； (a-b)2=a2-2ab+b2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 注：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：a2+b2 =(a+b)2-2ab =(a-b)2+2ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab 知识点六、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 注：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点七、补充公式 (a±b)( a2∓ab+b2)=a3±b3 ; (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 ; (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 知识点八、单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 知识点九、多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 注：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 例题精讲 考点1：单项式乘单项式 例题： 1．计算=( ) A． B． C． D． 2．计算的结果是( )