第一章 整式的乘除——幂的相关运算 讲义 2023—2024学年北师大版数学七年级下册

授课主题 幂的相关运算 年 级 七年级下 知 识 梳 理 知识点一、同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 注：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.即(a+b)n(a+b)m =( a+b)m+n（m，n为正整数） （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 注：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形 （3）((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数. 知识点三、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 拓展：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1） 知识点四、同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 注：（1）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （2）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （3）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 知识点五、零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 注：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点六、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 注：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. （、为整数，）； （为整数，，） （、为整数，）. 知识点七、科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 例题精讲 知识点一、 同底数幂的乘法 例题 1．下列计算正确的是( )． A． B． C． D． 2．下列运算中属于同底数幂相乘的是（　　） A．（﹣a）2•a2 B．﹣a2•（﹣a）3 C．﹣x2•x5 D．（a﹣b）2•（b﹣a）3 3．若（a﹣b）•（a﹣b）3•（a﹣b）m＝（a﹣b）11，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若3m＝2，3n＝4，则3m＋n＝__________ 5．若2x＝2，2y＝3，2z＝5，则2x＋y＋z的值为________． 6．已知，则=__________ 7．若约定，如，则等于___________． 8．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么＝_______，＝_______． 练习 1．已知，，则的值是( ) A．5 B．6 C．8 D．9 2． 可以表示为( ) A． B． C． D． 3．计算-x3∙x2的结果是( ) A．- x5 B．x5 C．- x6 D．x6 4．如果xm＝2，xn＝，那么xm+n的值为(　　) A．2 B．8 C． D．2 5．已知m+n﹣2=0，则3m×3n的值为________． 6．若am＝2，an＝4，则am+n＝_____． 7．若9×32m×33m＝322，则m的值为_____． 8．若102·10n-1=106，则n的值为______ 9．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝　　，（4，16）＝　　，（2，16）＝　　． （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c． 知识点二、幂的乘方运算 例题 1．下列运算中，正确的是( ) A． B． C． D． 2．下列运算正确的是(　　) A．(x3)4＝x7 B．x2•x3＝x5 C．x4÷x＝x4 D．x+x2＝x3 3．计算(a3)2•a3的结果是(　　) A