6.4.1 平面几何中的向量方法5题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义 6.4.1 平面几何中的向量方法5题型分类 一、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 二、向量在平面几何中常见的应用 已知． 证明线段平行、点共线问题及相似问题 常用向量共线的条件： ． 证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等 常用向量垂直的条件： （其中为非零向量）． 求夹角问题，若向量与的夹角为 利用夹角公式： （其中为非零向量）． 求线段的长度或说明线段相等 可以用向量的模： ，或（其中两点的坐标分别为． 对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题． （一） 利用向量证明平面几何问题 1、向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤 (1)利用线性运算证明的四个步骤:①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化. (2)利用坐标运算证明的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化. 题型1：用向量证明线段垂直 1-1．（2023·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 1-2．（2023·高一课时练习）如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC. 1-3．（北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期中练习数学（A）试题）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，. (1)用表示； (2)如果，用向量的方法证明：. 1-4．（2023下·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，对任意，有. （1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：. 1-5．（2023·江苏·高一专题练习）已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且四边形PFCE为矩形．求证：且 题型2：用向量证明平行问题 2-1．（2023·江苏·高一专题练习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 2-2．（2023·河北衡水·高二周测）已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，． (1)将用表示； (2)证明：四边形为梯形． 2-3．（2023·高一课时练习）设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点 （1）试用向量证明：PQAB； （2）若AB=3CD，求PQ：AB的值. 2-4．（2023·江苏·高一专题练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． （二） 利用向量解决平面几何求值问题 (1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 题型3：平面几何的长度、夹角求值问题 3-1．（2023·安徽安庆·统考二模）设点是的中线上一个动点，的最小值是，则中线的长是 . 3-2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末）在四边形中，若，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．5 D．10 3-3．（2023下·江西九江·高一九江一中校考期中）在中，，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2023下·湖北·高一校联考期中）如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为 . 3-5．（2023下·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 3-6．（2023下·山东菏泽·高一统考期