第21章 一元二次方程——配方法的六种常见应用 提分课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第2招 配方法的六种常见应用 九年级数学（上）极速提分法 当x取何值时，代数式2x2－6x＋7的值最小？并求出这个最小值． 例 解题方法：求代数式的最值，就要用配方法先将代数式转化成a(x＋m)2＋n的形式，然后根据平方式的非负性求代数式的最值． 应用1 配方法在识别方程中的应用 1.求证：无论m为何值，关于x的方程(m2－4m＋5)x2＋2x－7＝0是一元二次方程． 证明：∵m2－4m＋5＝(m－2)2＋1＞0， ∴m2－4m＋5≠0.∴无论m为何值，该方程都是关于x的一元二次方程． 【点方法】 本题利用配方法将关于x的方程中二次项系数m2－4m＋5配方得到(m－2)2＋1，判断此系数的值不可能为0，进而判断出关于x的方程是一元二次方程． 2. 【2023·荆州】一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为 (x－2)2＝k，则k的值是________． 1 应用2 配方法在解方程中的应用 【点拨】 ∵x2－4x＋3＝0，∴x2－4x＝－3， ∴x2－4x＋4＝－3＋4，∴(x－2)2＝1，∴k＝1. 3.已知关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式，求k的值． 应用3 配方法在求二次三项式中的待定系数的应用 【点拨】 应用4 配方法在求二次三项式的最大(小)值中的应用 4.求多项式2x2－4x＋7的最小值． 解：2x2－4x＋7＝2(x－1)2＋5，当x＝1时， 2x2－4x＋7有最小值5. 5.已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0. (1)求a，b，c的值； 应用5 配方法在求多个未知数的值中的应用 解：由a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0， 得(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0. ∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0， ∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5. (2)判断△ABC的形状． 解：∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【点方法】 本题利用配方法将原式整理后求出a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 6.设A＝2x2－4x－1，B＝x2－6x－6，试比较A和B的大小． 解：A－B＝2x2－4x－1－x2＋6x＋6＝x2＋2x＋5＝ (x＋1)2＋4. ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋4＞0，∴A＞B. 应用6 配方法在比较两个二次三项式大小中的应用 【点方法】 本题用作差法比较大小，将A－B的式子配方得到(x＋1)2＋4，由此式的值恒大于0，即可比较出A与B的大小． 解：2x2－6x＋7＝2＋. ∵2≥0，∴2x2－6x＋7≥. ∴当x＝时， 2x2－6x＋7的值最小，最小值为. 解：∵关于x的二次三项式x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式， ∴x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1＝(x＋)2＋k2－k＋中k2－k＋＝0，解得k＝3或k＝. 本题利用配方法将x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1配方得到＋k2－k＋，由条件可知该式是平方式，故k2－k＋的值为0，即可求得k的值． $$