6.4.1 平面几何中的向量方法 +6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 学习任务 01 掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题(重点) 02 体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具(重点) 03 培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力(难点) 01 探索新知 探索新知 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题. 有了运算,向量的力量无限; 没有运算,向量只是一个路标 探索新知 几何元素及其表示 向量及其运算 平行 垂直 长度 夹角 平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何?完成下表. 探索新知 F 证:延长DE至点F,使DE=EF,连结CF 例1. DE是 ABC的中位线,用向量的方法证明:DE//BC, C A B D E 问题1:用初中的方法如何证明? ∵E为AC中点,∴AE=EC ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC ∴四边形DBCF为平行四边形 又∵AD=BD,∴BD=CF ∴AB∥CF,即BD∥CF ∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴ AED≌ CEF(SAS) 又∵DE=EF,∠AED=∠CEF 探索新知 将线段用向量表示,把求线段长度问题转化为求向量的模的问题 例1. DE是 ABC的中位线,用向量的方法证明:DE//BC, C A B D E 问题2:如何利用向量推导三角形内线段长度关系? 探索新知 例1. DE是 ABC的中位线,用向量的方法证明:DE//BC, C E A B D 于是DE//BC, 解:取 为基底,因为DE是 ABC的中位线 所以 探索新知 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1) 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 探索新知 解:第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; 例2.已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间有什么关系? D A B C 则 为基底,设 取 探索新知 例2.已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间有什么关系? D A B C 上面两式相加,得 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系: 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系: 自然语言描述:即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 探索新知 思考: 在日常生活中,自己做以下图片的活动时,是否自我感觉有时吃力,有时轻松?这是为什么? 探索新知 设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,|F1|=|F2|.另设F1,F2的夹角为 ,旅行包所受的重力为G. 例3.在日常生活中,我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包、两个拉力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象? F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识可得 F2 G F1 F 探索新知 从式子分析:当 由0逐渐变大到 时, 由0逐渐变大到,cos 的值由大逐渐变小,此时|F1|由小逐渐变大; 反之,当 由 逐渐变大到0时, 由逐渐变小到0, cos 的值由小逐渐变大,此时|F1|由大逐渐变小. 这就是说,F1,F2之间的夹角越大越费劲,夹角越小越省力 同理,在单杠上做引体向上运用,两壁的夹角越小越省力 探索新知 探究 (1):当 为何值时,|F1|最小?最小值是多少? F2 G F1 F 当cos 取最大值1时,|F1|最小, =0, |F1|=. 当cos 时, |F1|=|G|,即 = 探究 (2):|F1|能等于|G|吗?为什么? 提示:向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果 探索新知 例3.一条河两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2km/h,那么当航程最短时这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1min)? 此时,船的航行时间 解:设点B是河对岸一点,AB与河岸垂直,那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时,船的航程最短, 设v=v1+v2,则 分析:要使航程最短,船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸. v2 v1 v A B 所以,当航程最短时,这艘船行驶完全程需要3.1min. 探索新知 数学中的两类物理背景问题