精品解析：北京市平谷区2023-2024学年高二上学期期末教学质量监控数学试卷

平谷区2023-2024学年度第一学期教学质量监控试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟. 2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好. 第I卷 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，且与直线相切的圆的半径为（ ） A. B. 2 C. 8 D. 3. 已知双曲线的焦点分别为、，，双曲线上一点满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线上一点到焦点的距离是4，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥中，设，，，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知展台上四个盲盒中装有由卡通动漫人物设计的四款不同的产品，学生甲喜欢其中的一款.甲从四个盲盒中抽选两个，则“学生甲抽到了喜欢的那一款”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，则“它的渐近线方程为”是“它的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知四棱锥中，侧面底面，，底面是边长为的正方形，是四边形及其内部的动点，且满足，则动点构成的区域面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线方程为，给出下列命题： ①曲线关于原点对称； ②曲线上任意两点的距离最大值为； ③曲线上的点的横坐标取值范围； ④曲线上的点构成的图形面积为16. 则所有真命题是（ ） A ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11. 已知直线和直线平行，那么______. 12. 已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______. 13. 已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是______，得到的一个抛物线标准方程是______. 14. 已知盒子中有大小、形状都相同的4个红球和2个白球，每次从中取一个球，取到红球记1分，取到白球记2分.如果有放回的抽取2次，则“2次所得分数之和为3分”的概率是______. 15. 已知双曲线的离心率，则______. 16. 已知曲线关于直线对称，若直线被曲线截得的弦长为，则______. 17. 如图，棱长为2正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有______. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，四边形为平行四边形，，，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测. （1）现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率； （2）若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率. （3）假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）. 20. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围. 21. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，侧面底面，为等边三角形，，，点在上，. （1）求证：为中点； （2）设上一点，若平面